Distribucion Normal

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS.

Después de haber estudiado algunas distribuciones de probabilidad discretas, veremos las funciones de densidad de probabilidad continuas, aquellas que surgen debido a un proceso de medición sobre diversos fenómenos de interés. Algunos ejemplos de fenómenos aleatorios continuos son: la altura, el peso, el tiempo entre llegadas (de clientes a un banco) y los tiempos de servicios a clientes.

Variable aleatoria continua.

Es aquella que puede asumir cualquier valor en un intervalo específico; significa entonces que entre cualquiera de dos valores que puede tomar la variable aleatoria continua, existe un número infinito de valores.

Naturaleza de la distribución de una variable continua.

Consideremos la representación gráfica del histograma o polígono de frecuencia de una muestra de tamaño n. Que sucede cuando aumentamos el tamaño de la muestra (n), es decir, cuando el número de valores de la V.A continua es muy grande, con:

El número de intervalos de clase (K).

La amplitud de los intervalos de clase.

Consecuencias:

El polígono de frecuencias se aproxima a una curva suave para representar gráficamente las distribuciones de probabilidad de una V.A continua.

El área bajo la curva es igual a 1, es equivalente al área bajo el histograma.

La frecuencia relativa (probabilidad de ocurrencia del evento) para los valores entre dos puntos específicos del eje de las x, es igual al área total delimitada por la curva, el eje de las abscisas y las rectas perpendiculares levantadas sobre ambos puntos.

La probabilidad de cualquier valor específico de la variable es cero, por lo que sólo podremos hablar de probabilidad dentro de intervalos.

El cálculo de probabilidades se basa en el cálculo integral del área bajo la curva entre dos puntos cualesquiera del eje de abscisas, generándose la función de densidad de probabilidad.

Función de Densidad e Probabilidad.

Para variables aleatorias continuas, la distribución teórica o FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (FDP) puede representarse por una curva continua.

Por DENSIDAD entendemos la concentración de probabilidad dentro de un intervalo de valores de la variable x.

Esta PROBABILIDAD puede ser interpretada como un AREA (integral) bajo la curva f(x), llamada CURVA DE DENSIDAD, limitada por las ordenadas en dos puntos de un intervalo.

Función de densidad de probabilidad f(x)

Entonces,

Definición 1. Una función f(x) es una Función de Densidad de Probabilidad de la V.A. continua X, si para cualquier intervalo de números reales, cumple las siguientes condiciones:

f(x)≥0

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)dx=1〗

P(a≤X≤b)=∫_a^b▒f(x)dx

Función de Distribución Acumulada (FDA).

En general, la función de distribución acumulada (FDA) de una variable aleatoria continua X, es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X.

Definición 2. La probabilidad de que una variable aleatoria X, asuma un valor menor o igual a x, se llama FDA y se representa por:

F(x)=P(X≤x)=∫_(-∞)^x▒f(x)dx

Función de distribución acumulada (FDA)

Valor esperado y varianza de una variable continua.

Definición 3. El valor esperado es el promedio o valor medio de X, está dado por:

E(X)=∫_(-∞)^∞▒xf(x)dx

Definición 4. La varianza de una V.A X es una magnitud que mide la dispersión de los valores de X alrededor de su media.

σ_x^2=Var(x)=∫_(-∞)^∞▒〖[x-E(X)]^2 f(x)dx〗

Distribución Normal.

Este tema tratará de algunas variables continuas más importantes y más utilizadas en la estadística aplicada, tenemos las siguientes distribuciones: Uniforme, Exponencial, Beta, Gamma y principalmente considerada como la más importante, es la distribución normal.

Definición 4. Se dice que una variable aleatoria se encuentra normalmente distribuida si su función de probabilidad esta dada por:

f(x;μ,σ_x )=(1 )/(σ_x √2π) e^[-1/2 ((x-μ)/σ_x )^2 ]

Donde:

e = constante matemática aproximada por 2,71828

π = constante matemática aproximada por 3.14159

μ = es la media de la población

σ_x = es la desviación estándar de la población

X = es cualquier valor de la variable aleatoria continua

Características:

Es generada por una por una variable de tipo continuo, denominada x;

-∞<X<+∞

La función que nos define, como se explico anteriormente, esta distribución es:

f(x;μ,σ_x )=(1 )/(σ_x √2π) e^[-1/2 ((x-μ)/σ_x )^2 ]

Es simétrica con respecto a su eje vertical y tiene forma de campana.

Por ser simétrica, la media está en la mitad y divide al área en dos mitades; la media, mediana y la moda tienen el mismo valor.

Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.

El área total bajo la curva es 1.

Sí sumamos a μ±σ, se observará que aproximadamente el 68,3% de los datos se encuentran bajo la curva, si sumamos a μ±2σ, el 95,5% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a μ±3σ, entonces el 99,7% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

La curva normal es simétrica

Dos mitades idénticas

0,5 0,5

50% 50%

En teoría, la curva se En teoría, la curva se

extiende hacia -∞ extiende hacia +∞

Media, Mediana y

Moda son iguales

Importancia:

La distribución normal de probabilidad es importante para la inferencia estadística por tres razones:

Una gran cantidad de fenómenos aleatorios reales en cualquier ciencia: economía,

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