DISTRIBUCION NORMAL

Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como la estatura;

• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;

• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

• nivel de ruido en telecomunicaciones;

• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

• etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.1 Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

Función de densidad de probabilidad

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.

La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.

La función de densidad de probabilidad (FDP o PDF en inglés) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

Definición

Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.

Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

y (si f es continua en x)

Intuitivamente, puede considerarse f(x) dx como la probabilidad de X de caer en el intervalo infinitesimal [x, x + dx].

Se define como el cociente entre la probabilidad de X de tomar un valor en el intervalo [x, x + dx] y dx, siendo dx un infinitésimo.

La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para especificarlas totalmente.

Recíprocamente respecto de la definición ya desarrollada, pueden hacerse las siguientes consideraciones.

La probabilidad de que una variable aleatoria continua X quede ubicada entre los valores a y b está dada por el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rango entre a y b.

La FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:

Así, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

y (si f es continua en x)

Descripción Intuitiva

En situaciones prácticas, la FDP utilizada se elige entre un número relativamente pequeño de FDP comunes, y la labor estadística principal consiste en estimar sus parámetros.

Por lo tanto, a los efectos del registro, es necesario saber qué FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentación de evaluación de la incertidumbre.

La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.

Si una variable aleatoria X sigue una función de probabilidad X*P su densidad con respecto a una medida de referencia μ es la derivada de Radon–Nikodym

Una variable aleatoria continua X con valores en un espacio de medida (habitualmente Rn con conjuntos Borel como subconuntos mensurables), tiene como distribución de probabilidad, la medida X∗P en : la densidad de X con respecto a la medida de referencia μ sobre es la derivada de Radon–Nikodym.

Siendo f/; toda función medible con la siguiente propiedad:

para todo conjunto medible .

Es decir, ƒ es una función con la propiedad de que...

...para cada conjunto medible A.

Funciones de Distribución de Probabilidad

A diferencia de la probabilidad, una fdp puede tomar valores mayores que uno. Por ejemplo, la distribución uniforme continua en el intervalo [0, ½] tiene una densidad de probabilidad f(x) = 2 para 0 ≤ x ≤ ½ y f(x) = 0 fuera de tal intervalo.

Hay que advertir que la función de densidad no es propiamente única: dos funciones distintas pueden representar la misma distribución de probabilidad si sólo difieren en un conjunto de medida nulo.

Además, puede haber distribuciones de probabilidad que carezcan de función de densidad.

Esto ocurre cuando, sin ser discretas, no le asignan probabilidad positiva a algunos puntos indivisuales presentan conjuntos de medida nula.

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