DISTRIBUCIÓN NORMAL

TEMA 0: DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal o distribución de Gauss es sin duda la más importante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribución es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza, la industria y la navegación. Así pues para los siguientes conjuntos de datos, se puede considerar adecuada la distribución normal:

- Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas, lluvias, etc.

- Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud.

- Las alturas de individuos de una edad y sexo dado.

- Las medidas físicas de productos manufacturados.

- La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc.

Definición: Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución normal de parámetros μ y σ si su función de densidad es:

, -∞< x<+∞

donde μ , σ  y tales que -∞<μ<+∞ y σ>0. (π=3,14159... , e=2,71828 )

Abreviadamente la indicaremos por XN(μ,σ)

Veamos ahora la representación gráfica de la función de densidad f(x) de la N( μ,σ). Para ello veremos que se cumplen las siguientes propiedades:

1. f(x) es continua en toda la recta real.

2. f(x) es simétrica respecto de x = μ es decir es simétrica respecto del parámetro μ.

3. f(x) tiene como asíntota horizontal el eje de abscisas.

4. f(x) es estrictamente creciente cuando x<μ, y estrictamente decreciente cuando x>μ.

5. f(x) presenta un máximo cuando x=μ, ese máximo vale f(μ)=

El gráfico nos muestra la representación gráfica de la función de densidad, f(x), de una distribución normal de parámetros μ y σ:

Se observa que tiene forma de campana, de aquí que frecuentemente se le llame campana de Gauss. También se pone de manifiesto que el parámetro μ corresponde al máximo y al centro de la distribución y el parámetro σ nos da idea del grado de apertura o aplastamiento de la curva f(x).

Relación entre la N(μ,σ) y la N(0,1)

Veamos pues que la expresión nos da la función de densidad de una familia de distribuciones normales para los diferentes valores de los parámetros μ y σ. Dentro de esta familia de distribuciones normales hay una muy importante, que corresponde a los valores de los parámetros μ=0 y σ=1, es decir la distribución N(0, 1) y recibe el nombre de distribución tipificada o estándar, cuya correspondiente función de densidad se obtiene haciendo μ=0 y σ=1 en la expresión :

Proposición: Si X es una variable aleatoria con distribución N(μ,σ), entonces la variable aleatoria tipificada Z=(X-μ)/σ sigue una distribución N(0,1).

Características:

1. Función

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