La Covarianza y su aplicación en finanzas

La Covarianza y su aplicación en finanzas

Lic Orlando Daniel Fortuna

Vamos a presentar el concepto de covarianza entre do variables e ilustrar cómo se aplica en la gestión de la cartera de finanzas[pic 1]

La covarianza

[pic 2]

Donde

X = Variable aleatoria discreta X

Xi = i - ésimo valor de X

P(XiYi) = Probabilidad de ocurrencia del i – ésimo valor de X y del i – ésimo valor de Y

Y = Variable aleatoria discreta Y

Yi = i – ésimo valor de Y

i = 1, 2, …, N

Ejemplo 1:

Suponga que Ud debe decidir entre dos alternativas de inversión para el próximo año. La primera inversión es un fondo de inversión cuya cartera se compone de una combinación de acciones que componen el índice Dow Jones Industrial . La segunda consiste en la inversión de una acción en  crecimiento. Supongamos que estima los siguientes rendimientos (por $ 1.000 de inversión) bajo tres escenarios de la economía, cada uno con una determinada probabilidad de ocurrencia.

Calcular el valor esperado y la desviación estándar para cada inversión y la covarianza de las dos inversiones.

Solución:

Si X = Fondo Dow Jones e Y = Acción en Crecimiento

E(X) = (- 100)(.2) + (100)(.5) + (250)(.3) = $ 105

E(Y) = (- 200)(.2) + (50)(.5) + (350)(.3) = $ 90

Var(X) = σx2 = (.2)(-100-105)2 + (.5)(100-105)2 + (.3)(250-105)2

σx2 = 14725

σx  = 121.35

Var(Y) = σY2 = (.2)(-200-90)2 + (.5)(50-90)2 + (.3)(350-90)2

σY2 = 37900

σY  = 194.68

σXY= (.2)(-100-105)(-200-90) + (.5)(100-105)(50-90) + (.3)(250-105)(350-90) = 23300

Por lo tanto, el fondo Dow Jones tiene un mayor valor esperado o retorno que la acción en crecimiento y también tiene una desviación estándar inferior. La covarianza de 23.300 entre las dos inversiones indica una relación positiva grande en el cual las dos inversiones están “covariando” juntas en la misma dirección. Cuando una inversión es cada vez mayor, la otra también está aumentando.

Retorno esperado de un portfolio y Riesgo de un portfolio

Para diversificar sus inversiones, los inversores combinan valores en sus carteras para reducir el riesgo. El objetivo es maximizar la rentabilidad y minimizar el riesgo. Para esas carteras, vamos a calcular el peso de cada inversión en proporción a los activos asignados  a la inversión. Esto nos permite calcular la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera según se define en las ecuaciones:

El retorno esperado de un portfolio para una inversión de dos activos es igual al peso asignado al activo X multiplicado por el rendimiento esperado del  activo X más el peso asignado a los activos Y multiplicado por el rendimiento esperado de los activos Y.

E(P)  =  wE(X) + (1-w)E(Y)

Donde

E(P) = Retorno esperado del portfolio

w = LA proporción del valor del portfolio asignado al activo X

(1-w) = La proporción del valor del portfolio asignado al activo Y

E(X) = Retorno esperado del activo X

E(Y) = Retorno esperado del activo Y

[pic 3]

Riesgo del Portfolio

[pic 4]

Ejemplo 2:

En el ejemplo anterior evaluamos el retorno esperado de dos inversiones diferentes, una combinación de acciones del índice Dow Jones y una acción en crecimiento, también calculamos la desviación standard del retorno de cada inversión y la covarianza de las dos inversiones. Ahora suponga que queremos formar un portfolio con esas dos inversiones que consista en una proporción igual de cada uno de los activos.

Calcule el retorno esperado del portfolio y el riesgo del portfolio

Solución:

W =  .5

E(X) = $105

E(Y) = $90

σx2 = 14725

σY2 = 37900

σXY = 23300

E(P) = (.5)(105) + (1 - .5)(90) = $97.50

[pic 5]

σP =  $157.50

Por lo tanto el portfolio tiene un retorno esperado de $97.50 por cada $1000 invertidos (un retorno del  9.75%) pero tiene un riesgo de $157.50. Nótese que el riesgo del portfolio es mayor que el retorno esperado.

Ejercicios:

1. El vendedor de un estadio debe determinar entre vender helado o gaseosas el día del partido. Estima las siguientes ganancias conforme el clima se presente frío o caluroso:

1. Piensa que el vendedor debe vender helados o gaseosas. Por qué?
2. Qué indica la covarianza?

1. En el ejemplo 2 supusimos un portfolio con igual proporción entre los dos activos. Ahora recalculemos el riesgo del portfolio si:

1. El 30% es invertido en el Dow Jones y el 70% en la acción en crecimiento.
2. El 70 % es invertido en el Dow Jones y el 30% en la acción en crecimiento.
3. Cuál de las tres estrategias es recomendable?  Por qué?

1. Usted está tratando de desarrollar una estrategia de inversión para dos acciones diferentes. El rendimiento anual esperado por cada $ 1000 de inversión en cada activo tiene la siguiente distribución de probabilidades:

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