MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

, su inconveniente es que se ve influida por valores extremos.

Datos No Agrupados:

ejemplo: Calcular la media aritmética de los números 10,12,36,25,58

Datos Agrupados:

donde: k = última clase

Nota: La media muestral se denota , la media poblacional se conoce como .

Ejemplo: calcular el salario promedio de :

Como sustituimos en la formula y se

obtiene:

Mediana : Es el valor central, el que delimita al 50% de los datos, es decir, es el valor que se encuentra exactamente en la mitad de los datos.

Datos No agrupados: En los datos ordenados se aplica la siguiente relación, para encontrar la posición de los datos.

; en donde n = número total de datos

Entonces podemos tener sólo dos alternativas

a) El valor de la posición puede ser entero y lo único que debemos hacer es contar el número de lugares que nos indica esta formula.

b) El valor de la posición nos da un valor decimal (.5) y entonces debemos: sumar los valores involucrados y dividirlos entre 2. Por ejemplo; si tenemos los valores 5, 7, 8, 13 entonces la posición nos da 2.5 por que tendremos que seleccionar a los números 7 y 8 para luego sumarlos (15) y dividirlos entre 2 (7.5)

Datos Agrupados:

Se localiza la clase o renglón que contiene a la mediana, con la siguiente condición

, es decir debemos encontrar la primer frecuencia acumulada que sea mayor o igual a la posición, para posteriormente aplicar la siguiente formula: donde:

Nota: Si la posición, en los datos no agrupados, es decimal (.5), se toma el promedio del dato anterior y el siguiente.

Ejemplo: Calcular el sueldo mediano de:

Fronteras($) Salario

(X) No. De emp.

(F)

12,500-17,500 $15,000 18

17,500-22,500 $20,000 35

22,500-27,500 $25,000 29

Primero se obtiene la posición:

Entonces buscamos el renglón de la mediana buscando la fa igual o más grande de 41.5, como 18+35 = 53, entonces decimos que es el segundo renglón o clase donde se encuentra la mediana y aplicamos la fórmula:

Moda : Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces.

Datos No Agrupados: Después de ordenar los datos buscamos el valor que más se repite.

Ejemplo: Encontrar la moda de; 47, 48, 49, 49, 49, 51, 51, 52. Podemos observar que el número que más se repite es el 49. Si ningún valor se repite, no existe moda

Datos Agrupados:

Se localiza la clase modal buscando la frecuencia más alta y después se aplica la siguiente fórmula:

Nota: La distribución puede ser: amodal, unimodal, bimodal, trimodal,...., polimodal.

Ejemplo: Calcular el salario que más se repite en:

Fronteras($) Salario

(X) No. De emp.

(F)

12,500-17,500 $15,000 18

17,500-22,500 $20,000 35

22,500-27,500 $25,000 29

Observamos las frecuencias (No. de empleados) y decimos que la clase modal es la segunda, porque 35 es la frecuencia más grande y aplicamos:

Relación entre Media Aritmética, Mediana y Moda:

Para distribuciones unimodales que sean poco asimétricas:

Sus posiciones relativas, según la simetría de la distribución de frecuencias es:

Relación Simetría

Simétrica

Sesgo positivo

Sesgo negativo

Nótese que en nuestros ejemplos tenemos:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA CASOS ESPECIALES

Media Aritmética Ponderada : Es el promedio de los datos en donde se le da un peso o importancia específica a cada observación. Se calcula:

Ejemplo:

Se desea obtener el precio promedio de:

Aplicamos la formula:

Media Geométrica (G): Con cierto tipo de datos, la media aritmética no da el valor promedio correcto. La media geométrica sirve para promediar los crecimientos geométricos de una variable.

Si suponemos que Y representa el factor de crecimiento geométrico de la variable X, es decir: ,entonces el factor de crecimiento geométrico promedio de la variable X será:

Datos No Agrupados:

Ejemplo:

Si los precios de la acción “Anáhuac” en los últimos cuatro días fueron; 4.75, 5.23, 4.78 y 6.32 calcula el factor de crecimiento promedio y el crecimiento porcentual promedio.

Existen dos formas de resolverlo:

a) De la forma más ortodoxa, es decir:

Lo que acabamos de obtener es factor de crecimiento promedio y para obtener el crecimiento se aplica la siguiente formula:

b) Otra forma es

Datos Agrupados:

donde: k = última clase

Nota: Se puede demostrar que .

También puede calcularse la media geométrica ponderada.

Ejemplo:

Supóngase que se cuenta con la información diaria de los incrementos porcentuales de una acción y que se representan en la siguiente tabla:

a) Calcular los factores de crecimiento.

b) Calcular el factor de crecimiento promedio

Media Armónica (H): Cuando los datos a promediarse están medidos en unidades expresadas en forma de cocientes (km./hr., $/lt, etc.), lo más adecuado es utilizar la media armónica, ya que la media aritmética nos llevará a un promedio equivocado.

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