Optimizacion de inventarios

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OPTIMIZACION DE INVENTARIOS

El estudio de modelos de inventario es un tema que aparece tratado de forma descriptiva en algunos textos de economía o contabilidad, pero que rara vez se analizan usando métodos matemáticos.

Para lo anterior, hoy podremos observar como hasta para un puesto de responsable de almacenes, debemos tener conocimientos aplicables de varios niveles de las matemáticas, hoy veremos específicamente el control de inventarios aplicando en su mayoría derivaciones que nos ayudaran a estimar los mejores escenarios para el control del mismo.

En este trabajo se presentan dos modelos sencillos de inventario en el cual el objetivo considera la minimización de los costos asociados al stock. En el primer caso, únicamente se consideran los costos de reaprovisionamiento y de mantenimiento del inventario, mientras que, en el segundo, se considera la posibilidad de que exista un retardo en la recepción del producto que compense los gastos derivados de que dicho producto esté en el almacén, generando así unos gastos de mantenimiento. En el primer caso, el objetivo depende de una variable (la cantidad requerida en cada pedido para minimizar los costes del stock) y en el segundo caso, se llega a una función de dos variables, ya que, como hemos visto se introduce además de la cantidad, el retraso en el pedido. Se utilizarán las herramientas clásicas de optimización en una y dos variables para optimizar los objetivos planteadas y se relacionarán las soluciones en ambos modelos.  

PALABRAS CLAVE

Modelos de inventario, derivaciones matemáticas, costos de inventario, niveles de inventario, optimización de costos

 INTRODUCCION.

Una de las aportaciones más importantes, que desde el punto de vista formativo supone el estudio de matemáticas, es la potencialidad de sus métodos y técnicas para interactuar con otras disciplinas. Este carácter interdisciplinar de las matemáticas tiene hoy día un mayor valor formativo, dado que las empresas e instituciones precisan de profesionales de distintas áreas de conocimiento que en colaboración afronten los nuevos retos sociales y científicos. Desde ese punto de vista, la enseñanza de las matemáticas a través de modelos proporciona un valor agregado el cual no debemos desaprovechar.

En las páginas que siguen, se presentarán dos ejemplos de aplicación de las matemáticas a la modelización de un problema de interés económico: la gestión de inventarios. Concretamente, se abordará el estudio de dos modelos sencillos, pero de interés formativo, que resultan de utilidad para iniciarse posteriormente en el análisis de la minimización de los costos asociados a un inventario, al cual debe enfrentarse prácticamente cualquier empresa. Como se verá, estas funciones de costos dependen de una o dos variables, dependiendo del modelo considerado, y se calculará el mínimo de dichas funciones utilizando para ello las herramientas clásicas del Cálculo Diferencial en una y dos variables.

DESARROLLO

Modelo de optimización de inventario en una variable

En este apartado se presentará un modelo sencillo de optimización de stocks o inventario. Los vendedores que ofertan productos almacenables se enfrentan a gastos relacionados con la gestión de las unidades del producto que venden. Por un lado, cada vez que realizan un pedido o solicitud de reaprovisionamiento, deben asumir los gastos que los proveedores les trasladan por servirles el producto que venden. Estos gastos son debidos, por ejemplo, al desplazamiento que debe realizar el proveedor desde la fábrica a la tienda del vendedor. Al mismo tiempo, en muchos casos, los vendedores también deben de cargar con los gastos que les supone mantener la mercancía que venden y que deben conservar en su stock para que el producto no se deteriore. En este caso, este gasto puede ser debido, por ejemplo, al pago de la iluminación, la refrigeración, el alquiler del almacén donde se almacena el stock de producto, etc. Al mismo tiempo, si, como por otra parte sería esperable, conocen la demanda del producto que venden, los vendedores están interesados en determinar las unidades de producto que deben realizar en cada pedido para minimizar los mencionados gastos de reaprovisionamiento y de mantenimiento. A continuación, se presentará un primer modelo sencillo para determinar, suponiendo conocida la demanda de producto y los costos de reaprovisionamiento y almacenamiento, el tamaño del pedido óptimo que minimice los costos asociados a cada unidad de producto por unidad de tiempo que está en el inventario o stock. Como en cualquier modelo, se partirá de unos supuestos iniciales -que destacaremos en letra cursiva a lo largo de la exposición- que simplificando el tratamiento matemático del modelo, resulten razonables desde el punto de vista de la realidad que tratan de describir.

Consideraremos que un vendedor desea satisfacer una “demanda constante” de r unidades de producto por unidad de tiempo. También asumiremos que cada vez que el vendedor realiza un pedido a su proveedor debe pagar un coste de c1 u.m. (unidades monetarias) por la realización de dicho pedido. Estas nuevas unidades supondremos que las “adquiere instantáneamente”. Por otra parte, asumiremos que los costos de mantenimiento del stock del producto son de c2 u.m. por unidad de stock y por unidad de tiempo. Denotaremos por q a las unidades de producto que se solicitan en cada pedido para reponer la mercancía. Entonces, q/r representa el tiempo que se necesitará para que dicha cantidad sea vendida; en ese instante el vendedor ordenará un nuevo lote del producto (el cual, obsérvese que bajo las hipótesis establecidas se sirve inmediatamente). El proceso descrito se ilustra en la siguiente figura:

Si denotamos el nivel de stock en el instante t por S(t), claramente dicho valor viene determinado por la diferencia entre la cantidad q del pedido y la cantidad vendida en el instante t, es decir, S(t) = q-rt

S(t) = q-rt

Ecuación 1. Modelo 1: Nivel de inventario en el instante t.

Por otra parte, los costos cuando se realiza un pedido están determinados por la suma de los costos de cada pedido, i.e., c1, y los costos generados por el mantenimiento del stock existente en momento de efectuar el pedido. Estos últimos costos se pueden calcular como el producto del coste de mantenimiento por unidad de producto y de tiempo y el stock en el instante del pedido. Este segundo factor viene dado por una suma continua en el tiempo, i.e., puede representarse por una integral del stock S(t). Obsérvese que el stock se agota en el instante q/r. En resumen, los costes están dados en la Ecuación 2.

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