La Confusion

1.1. Elementos geométricos y características generales

Los elementos geométricos básicos son:

• El punto. Es la intersección de dos rectas. La designación de los puntos se hace mediante una letra mayúscula, fundamentalmente las primeras de alfabeto. Así tendremos el punto A, el punto B, el punto C… En cuanto a surepresentación, se realiza mediante una cruz, un aspa, un círculo vacío o un círculo lleno. Punto P.

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• La recta. Se conoce a la recta como la sucesión infinita de puntos.

o Línea recta. Sucesión de puntos en una misma dirección. Para ladesignación se utilizan letras minúsculas, generalmente a partir de la letra r, por ejemplo, r, s, t, … . Recta r.

o Línea curva. Sucesión de puntos que no están en una misma dirección. Recta s.

o Línea quebrada. Sucesión de puntos formados por líneas rectas que cambian de dirección. Recta t.

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• Semirecta. Es la parte de la línea recta limitada en un extremo. En el caso de la semirecta, la designación se hace a partir del punto y la recta, esto es con una letra mayúscula y una minúscula. Semirecta Ar.

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• Segmento. Es la parte de recta limitada en sus dos extremos. La designación del segmento es mediante los puntos que definen el segmento, esto es, dos letras mayúsculas. Segmento AB.

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• Plano. Se designan mediante las primeras letras del alfabeto griego (α, β, γ, etc) y es la superficie formada por:

o tres puntos no alineados, o

o dos rectas que se cortan, o

o dos rectas paralelas, o

o una recta y un punto exterior a ella.

Símbolos en geometría

Símbolos que se usan con frecuencia en geometría

Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:

Símbolo Significado Ejemplo En palabras

Triángulo

ABC tiene 3 lados iguales El triángulo ABC tiene tres lados iguales

Ángulo

ABC mide 45° El ángulo formado por ABC mide 45 grados.

Perpendicular

AB CD La línea AB es perpendicular a la línea CD

Paralela

EF GH La línea EF is paralela a la línea GH

Grados

360° es un círculo completo

Ángulo recto (90°)

mide 90° Un ángulo recto mide 90 grados

Segmento de línea "AB" AB La línea entre A y B

Línea "AB" La línea infinita que pasa por A y B

Rayo "AB" La línea que empieza en A, pasa por B y continúa

Congruente (mismo tamaño y forma) ABC DEF El triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF

Similar (misma forma, distinto tamaño) DEF MNO El triángulo DEF es similar al triángulo MNO

Por tanto a=b b=a a es igual que b, por tanto b es igual que a

Nombrar ángulos

En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas " ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.

Ejemplo breve

Así que si alguien escribe: En ABC, BAC es

Ya sabes que quiere decir: "En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo recto"

Lugar geometrico

Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.

Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,...

También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.

Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

Trazado de la mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la rectaperpendicular al segmento que pasa por elpunto medio del mismo.Para trazarla debemos tenerprimeramente un segmento:Posteriormente, apoyamos en uno delos extremos la punta del compás, lo abrimospoco más de la mitad del segmento:Trazamos un arco que corte alsegmento dado:Hacemos lo mismo en el otro extremo del segmento:

By:hannia leniak gollas a.

Clases de angulos

Ángulo recto: está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90º.

Ángulo obtuso: un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, concretamente 180º.

Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Ángulo plano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una revolución, o sea, 180º.

Aplicación en triángulos

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Primeras construcciones con regla y compás

Vamos a ver algunas construcciones que podemos hacer con regla y compás. Para algunas de ellas partiremos de dos puntos. Para otras añadiremos de partida alguno más que será construible a partir de los dos primeros:

Mediatriz de un segmento

A partir de dos puntos podemos construir el segmento que los une. Pinchamos ahora con el compás en y trazamos una circunferencia tomando como radio la distancia entre y . Después pinchamos en y trazamos otra circunferencia cuyo radio es la misma distancia anterior. De esta forma hemos construido dos nuevos puntos: los dos puntos donde se cortan las dos circunferencias. Uniendo esos dos puntos obtenemos la mediatriz del segmento inicial

Bisectriz de un ángulo

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :

Trazamos las rectas por las que pasan y (recta ) y y (recta ). Con centro en y radio la distancia entre y trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta , obteniendo el punto . Ahora trazamos un arco de circunferencia con centro y radio la distancia entre y y otro arco con centro en y radio la misma distancia. Esos dos arcos se cortan en un punto. Trazamos la recta que une ese punto con y obtenemos la bisectriz del ángulo formado por , y .

Simétrico de un punto respecto del otro

A partir de dos puntos trazamos la recta que pasa por ellos. Después pinchamos con el compás en y con radio la distancia entre y trazamos una circunferencia. Esa circunferencia corta a la recta antes trazada en otro punto que es precisamente el simétrico de respecto de .

Paralela a una recta dada

Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados :

Trazamos la recta que pasa por y . Después trazamos un arco de la circunferencia de centro y radio la distancia entre y y otro arco de circunferencia de centro y radio la distancia entre y . Acabamos de construir otro punto: el punto de corte de los

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