Permutaciones y Combinaciones

Permutaciones y Combinaciones.

El entendimiento de estos conceptos se puede lograr al definir a ambos, para establecer sus diferencias y de entender claramente cuando se puede utilizar una combinación o utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

Combinación.- Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Permutación.- Es todo arreglo de elementos en donde interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constiye dicho arreglo.

Ejemplo:

Suponga que en un salón de clases, existen 35 alumnos.

a) El maestro desea que tre de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando sea así necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente Secretario y Tesorero).

a) Los elegidos son Daniel, Arturo y Rafael para limpiar el aula o entregar material (aunque pudieron haberse seleccionado a estos alumnos o a otros para realizar este trabajo), la pregunta obligada es ¿Es importante el orden de selección de los elementos que van a formar el grupo de tres personas?, y se nota que en este caso no tiene importancia, ya que lo único que interesaría es el contenido de cada grupo, o dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo?, por tanto en este caso se trata de una combinación, lo que significa que las combinaciones nos permite formar grupo o muestras de elementos en donde lo único que interesa es el "contenido" (quienes o que conforman a los grupos o muestras) de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como presidente, a Arturo como Secretario y a Rafael como Tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer los cambios que se muestran a continuación:

CAMBIOS

PRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel

SECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael

TESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo

Tenemos ahora 4 tipos de representaciones, ¿ se trata de la misma representación? la respuesta inmediata es no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, un presidente tomará decisiones diferentes a otro, aún cuando se encuentre en el mismo "cuadro" electo, ¿importa el orden de los elementos en estas representaciones?, por supuesto que sí, luego entonces las representaciones definidas anteriormente son diferentes ya que el orden o la forma en la que se asignan las funciones si importa, por lo tanto en este caso se está tratando con permutaciones.

Obtención de fórmula de permutaciones.

Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

Solución:

Haciendo uso del principio multiplicativo,

14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso

Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.

Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.

14 x 13 x 12 x 11 = n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)

si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces

= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!

= n!/ (n – r)!

Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?

Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.

nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces

nPn= n!

Ejemplos:

1) ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución:

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.

Por Fórmula:

n = 25, r = 5

25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=

= 6,375,600 maneras de formar la representación

2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera

Por Fórmula:

n = 8, r = 8

8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc.,

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