El gran Procesamiento Digital de Señales

[pic 1]

[pic 2]

LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES EN EL PROCESAMIENTO DE SEÑALES

Procesamiento Digital de Señales

[pic 3][pic 4]

[pic 5]

1. Sistemas y señales de tiempo discreto

Una señal discreta tiene valores que son definidos sólo en valores discretos de tiempo o alguna otra variable adecuada, como el espacio por ejemplo. Tal señal se puede generar muestreando una señal de tiempo continuo en intervalos de tiempo regulares nT, n = 0, 1,..., donde T es el período de muestreo. También puede ser generado artificialmente, mediante algún algoritmo en una computadora. La amplitud de una señal de tiempo discreto  puede tener valores discretos (tiempo discreto, amplitud discreto) o puede ser continuo.

Por tradición una señal de tiempo discreto se representa como una secuencia de números:

X(n),                 n= 0, 1,…

X(nT),                n= 0, 1,…

Xn,                 n= 0, 1,…

Donde el símbolo x(n), x (nT ) o Xn indica el valor de la señal en el tiempo discreto n (o nT ). Un sistema de tiempo discreto es esencialmente un algoritmo matemático que toma la secuencia de entrada, x(n), y produce una secuencia de salida, y (n). Ejemplos de sistemas de tiempo discreto son controles digitales, analizadores de espectro digital, y filtros digitales. Un sistema de tiempo discreto puede ser lineal o no lineal, invariante en el tiempo o variante en el tiempo. Un sistema de tiempo discreto se dice que es lineal si este obedece los principios de superposición. Esto es, la respuesta de un sistema lineal de dos o más entradas es igual a la suma de las respuestas del sistema a cada entrada que actúa por separado en la ausencia de todas las otras entradas. Por ejemplo, si una entrada x1(n) al sistema da lugar a la salida y1(n), y otra entrada x2(n) produce la salida y2(n), la respuesta del sistema para ambas entradas deberá ser:

[pic 7]

Donde a1 y  a2 constantes arbitrarias.

Un sistema de tiempo discreto se dice que es invariante en el tiempo si su salida es independiente del tiempo que se aplica a las entradas. Por ejemplo, si la entrada x(n) da la salida y(n), entonces la entrada x(n-k) deberá dar la salida y(n-k):

[pic 8]

[pic 9]

Es decir, un retraso en la entrada causa un retraso de la misma cantidad en la señal de salida. La relación entrada-salida de un sistema LTI se da por la suma de convulsión  

[pic 10]

Donde h(k) es la respuesta impulso del sistema. Los valores de h(k) definen completamente el sistema de tiempo discreto en el dominio del tiempo. Un sistema LTI es estable si esta respuesta impulso satisface la condición:

[pic 11]

Esta condición se satisface si h(k) es de duración finita o si h(k) se decae a cero conforme aumenta k.

Un sistema causal es aquel que produce una salida solamente cuando hay una entrada. Todos los sistemas físicos son causales. En general, una secuencia causal de tiempo discreto, x(n), o la respuesta impulso, h(k), de un sistema de tiempo discreto es cero antes del tiempo 0, es decir x(n)=0, n<0, o h(k)=0, k<0.

1. La transformada Z

La transformada Z de una secuencia, x(n), que es válida para toda n, es definida como:

[pic 12]

Donde z es una variable compleja. En sistemas causal, x(n) puede ser distinto de cero solo en el intervalo 0 y la ecuación antes mencionada se reduce a lo llamado transformada z.[pic 13]

[pic 14]

Claramente, la transformada Z es una serie de potencia con un número infinito de términos y por lo tanto no puede converger para todos los valores de z. La región donde la transformada Z converge es conocida como la región de convergencia (ROC), y en esta región los valores de X(z) son finitos.

Ejemplo 1. Encuentra la Transformada Z y la región de convergencia para cada uno de las secuencias de tiempo discreto dados en la Figura 4.1.

[pic 15]

Figura 4.1.  Secuencias de tiempo discreto no causales y causales.

1. La secuencia de la figura 4.1 (a) es no causal, puesto que x(n) no es cero para n<0, pero es de una duración finita. La secuencia tiene valores x(-6)=0, x(-5)=1, x(-4)=3, x(-3)=5, x(-2)=3, x(-1)=1 y x(0)=0. Para la siguiente ecuación la transformada Z está dada por:

 [pic 16][pic 17]

Se comprueba fácilmente que el valor de X(z) se convierten en infinito cuando z=.[pic 18]

1. De nuevo, la secuencia en la figura 4.1 (b) es no causal. Es de una duración finita. Los valores de la secuencia son x(-3)=0, x(-2)=1, x(-1)=3, x(0)=5, x(1)=3, x(2)=1, y x(3)=0. La transformada Z está dada por:

[pic 19]

Es evidente que el valor de X(z) es infinito si z=0 o si z=.[pic 20]

1. La figura 4.1 (c) representa una causal, la secuencia de duración finita con valores x(0)=0, x(1)=1, x(2)=3, x(3)=5, x(4)=3, x(5)=1, y x(6)=0.

[pic 21]

En este caso, X(z)= para z=0.[pic 22]

1. La secuencia de tiempo discreto en la figura 4.1 (d) puede ser definida matemáticamente como:

[pic 23]

[pic 24]

Claramente, esta es una secuencia causal de duración infinita. La ecuación de la transformada Z de la secuencia está dada por:

[pic 25]

Se trata de una serie geométrica con una razón común de z-1. La serie converge si  o equivalente if . Así podemos expresar X(z) siempre que :[pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

En este caso, la transformada Z es válida en todas partes fuera de un círculo de radio unitario cuyo origen se encuentra en el centro. Nosotros podemos verificar que cuando  X(z) converge considerando que cuando  diverge.[pic 31][pic 32]

1. La transforma Z inversa.

La transformada z inversa (IZT) nos permite recuperar la secuencia de tiempo discreto x(n). Simbólicamente, el (IZT) puede ser definido como:

...