Procesamiento Digital De Señales

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Capítulo 3

Procesamiento Digital de Señales

2.1 Introducci ´on

3.2 Teorema de muestreo

3.3 Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

3.4 Transformada Z

3.5 Dise˜no de filtros digitales

3.6 Resumen

3.7 Ejercicios

2 Cap´ıtulo 3. Procesamiento Digital de Se˜nales

Objetivos

El objetivo principal de este capítulo es realizar los principales ejercicios

para el procesamiento de señales digitales, tanto en el dominio del tiempo

como en frecuencia:

En el dominio del tiempo mediante la convolución y la ecuación diferencial.

En el dominio de la frecuencia para conocer el contenido de frecuencia

de sistemas y señales y determinar los polos y ceros del sistema

discreto.

Asimismo, los estudiantes aplicarán las herramientas para el análisis de

filtros digitales y podrán desarrollar y diseñar un filtro bajo especificaciones

dadas.

3.1 Introducción

En este capítulo se presenta la teoría y aplicaciones del procesamiento digital de

señales empleando el programa MATLAB. Para estudiar las características de las secuencias

discretas, inicialmente se estudia el proceso de conversión analógico digital

y los efectos del muestreo, y mediante ejemplos de simulación el lector podrá entender

las consecuencias del fenómeno denominado aliasing. El estudio de los sistemas

lineales permite conocer el comportamiento de éstos y mediante la ecuación de convolución

se puede estudiar la respuesta ante distintas entradas. La ecuación diferencial

de los sistemas discretos se estudiará para conocer el comportamiento de los mismos

y su caracterización mediante los coeficientes de dicha ecuación, que en esencia representa

la ecuación de un filtro digital. Las principales herramientas para el estudio

en frecuencia se analizaron en el capítulo 2 sin embargo mediante el estudio de la

transformada Z se conocerán algunas propiedades importantes de los sistemas tales

como la estabilidad y región de convergencia, que son de gran utilidad para estudiar

los filtros digitales. Finalmente se revisarán diversas técnicas para el diseño de los

filtros digitales tanto con respuesta al impulso finito como infinito, mediante técnicas

de transformación de filtros analógicos a digitales y mediante el diseño directo de

filtros tipo FIR aplicando distintas ventanas. También se incluye un breve estudio de

las características más importantes de los filtros tipo butterworth y chebyshev. Los

ejemplos desarrollados en MATLAB permiten entender los principales temas estudi-

Alfaomega MATLAB Aplicado a Telecomunicaciones • Mauricio Alberto Ortega Ruiz

3.2 Teorema de muestreo 3

ados en un curso de procesamiento digital de señales. Para desarrollar los ejemplos

del capítulo se requiere del uso del toolbox de SIGNAL PROCESSING.

3.2 Teorema de muestreo

Antes de comenzar a analizar las secuencias discretas es importante conocer el proceso

de conversión de una señal analógica a una señal discreta. Una secuencia digital x(n)

se obtiene a partir de una señal analógica x(t) mediante el proceso denominado de

muestreo, es decir, se toman muestras de la señal analógica a intervalos de tiempo fijo

T, dando por resultado la siguiente expresión:

x(n) = x(kT)

esto es, dada una función continua x(t) se obtiene la correspondiente secuencia discreta

x(kT) donde T = 1

fs

representa el intervalo de muestreo, es decir, el tiempo

entre muestra y muestra y fs la frecuencia de muestreo. Una señal discreta puede ser

considerada como la multiplicación de la señal original x(t) por una señal denominada

p(t) que representa una suma infinita de impulsos separados por el intervalo de

muestreo T:

xmuestreada(t) = x(t)p(t)

donde p(t) =

P

(t − mT). Es posible demostrar entonces que la transformada de

Fourier de la señal muestreada produce el siguiente espectro de frecuencia:

Xmuestreada(W) =

X

F(W +W0r)

para r = 0, 1, 2, ..., y se puede entender que el espectro de la señal muestreada es una

función periódica de periodo W0, que representa la frecuencia de muestreo, es decir,

se repite a intervalos de la frecuencia de muestreo.

Sin embargo de la fórmula anterior se puede inferir que si se selecciona una frecuencia

de muestreo muy baja los espectros se tralapan ocasionando una distorsión

en el espectro de la señal discreta.

El teorema de muestreo nos indica el valor que debe tener fs para evitar el fenómeno

denominado aliasing. Este teorema nos dice que la frecuencia de muestreo debe

ser mayor al doble de la máxima frecuencia contenida dentro de la señal. De la misma

figura se observa que ese valor es el adecuado para evitar el traslape, mismo que

genera el aliasing.

MATLAB Aplicado a Telecomunicaciones • Mauricio Alberto Ortega Ruiz Alfaomega

4 Cap´ıtulo 3. Procesamiento Digital de Se˜nales

fs  2fmax

Ejemplo 3.1

Genere dos senoidales de 50 y 240 Hz respectivamente, utilizando una frecuencia de

muestreo de 250 Hz; véase la figura 3.1. Las siguientes instrucciones grafican ambas

señales, observe y grafique el resultado.

t=0:0.01:2pi;

fs=250;

T=1/fs;

x1=sin(2pi50t);

x2=sin(2pi240t);

plot(t,x1,t,x2)

Figura 3.1 Senoidales de 50 y 240 Hz respectivamente.

.

Se observa que la senoidal de 240 hz que debería ser de mayor frecuencia y por lo

tanto debería verse con cambios más rápidos en la señal en el tiempo aparece como

la senoidal de menor frecuencia, esto es porque no se observa la señal correcta sino

una variante y por ello se le da el nombre de alias.

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3.3 Sistemas lineales e invariantes en el tiempo 5

3.3 Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

Una vez entendida la naturaleza de una secuencia discreta es importante conocer el

efecto que tiene sobre un sistema específico. Un sistema recibe como entrada una señal

discreta y la salida es una versión modificada de la entrada. Para el procesamiento

digital de señales estudiaremos exclusivamente los sistemas lineales e invariantes en

el tiempo denominados SLIT.

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