PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TRABAJO COLABORATIVO 2

DESARROLLO

Investigación.

a) Técnicas en programas de simulación para el análisis y diseño de filtros digitales. Plantee dos ejemplos de aplicación, uno en filtrado de imágenes y otro en filtrado de audio (debe adjuntar el código generado al trabajo final).

b) Investigue y plantee por lo menos dos ejemplos de los siguientes ítems

I. Muestreo de señales y conversión Análogo a Digital.

II. Diseño de filtros IIR.

Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:

Indirecta (a partir de prototipos analógicos).

Impulso invariante.

Aproximación de derivadas.

Transformación bilineal.

Directa.

Aproximación de Padé.

Aproximación de mínimos cuadrados.

III. La transformada z.

El método de la transformada Z es un método operacional muy poderoso cuando se trabaja con sistemas en tiempo discreto. A continuación se definirá la transformada Z de una función del tiempo o de una secuencia de números.

Al considerar la transformada Z de una función del tiempo, sólo se toman en cuenta los valores muestreados de x(t), esto es, x(0),x(T),x(2T),..., donde T es el período de muestreo.

La transformada Z de una función del tiempo x(t), donde t es positivo, o de la secuencia de valores x(kT), donde k adopta valores de cero o de enteros positivos y T es el periodo de muestreo, se define mediante la siguiente ecuación:

Para una secuencia de números x(k), la transformada Z se define como:

En donde z es una variable compleja con parte real e imaginaria. Un significado de las ecuaciones (2.40) y (2.41) es que la transformada Z convierte la secuencia de números en el dominio real a una expresión en el dominio complejo z.

Observe que la expansión del segundo miembro de la ecuación (2.40) da como resultado:

La ecuación (2.42) implica que la transformada Z de cualquier función en tiempo continuo x(t) se puede escribir, mediante inspección, en la forma de una serie. La Z^(-k)en esta serie indica la posición en el tiempo en la que se presenta la amplitud x(kT). De manera contraria, si X(z) está dada en la forma de una serie como la que se indicó, la transformada Z inversa se puede obtener por inspección como una secuencia de la función x(kT) que corresponde a los valores de x(t) en los valores de tiempo respectivos.

Si la transformada Z está dada como el cociente de dos polinomios en z, entonces la transformada Z inversa se puede obtener mediante varios métodos diferentes, tales como:

• Método de la división directa.

• Método de expansión en fracciones parciales.

• Método de los residuos.

IV. Diseño de filtros digitales mediante transformada Z bilineal.

Los filtros recursivos pueden ser diseñados por varios métodos, siendo el más común el basado en las transformaciones bilineales. Este procedimiento requiere del conocimiento de la función de transferencia en el tiempo continuo del filtro a diseñar. Los coeficientes del filtro en el dominio s son transformados a uno equivalente en el dominio z. Los coeficientes de la discretización formarán el filtro IIR.

El origen de este proceder viene dado por la cantidad de experiencia acumulada en el diseño de filtros analógicos. Por tanto, todos los polinomios, tablas, métodos analíticos y gráficos para definir el filtro analógico, empleados en el anterior capítulo, serán usados en el diseño de los filtros recursivos.

Si bien hay varios métodos de discretización, la mayoría de ellos tienen problemas de solapamientos en frecuencias, por realizar una relación entre el plano s a z de varias regiones del dominio s a una sola z. Sin embargo, la transformación bilineal consigue una transformación unívoca entre el dominio s a z. Esta transformación se define como:

(ecu 1)

Y su relación inversa es del tipo:

(ecu 2)

y sustituyendo s= δ+jw_a en la anterior expresión quedará:

(ecu 3)

Si s < 0 , entonces, de la (ecu 3) se deduce que z < 1 para cualquier valor de w_a.

Del mismo modo, si s > 0 , z > 1 para todo valor de w_a. Es decir, si los polos del filtro analógico están en el semiplano izquierdo de s, su imagen en el plano z está en el interior de la circunferencia unidad. Por tanto, los filtros en tiempo continuo causales y estables se transforman en filtros en tiempo discreto causales y estables. Seguidamente, para

demostrar que el eje 〖jw〗_a se transforma en la circunferencia unidad se procede a sustituir s= δ+jw_a en la ecuación (ecu 3), con lo que se obtiene:

con lo que se puede ver que el módulo de z es unitario para cualquier valor de w_a.

De hecho, para obtener la relación de sus respuestas en frecuencias se sustituye s por 〖jw〗_a y z por e^(jw_a T) con lo que queda después de operar que:

(ecu 4)

La figura 1 resume las propiedades de la transformación bilineal. Observando la ecuación (ecu 4) y la figura 1 hay que notar cómo el intervalo de la frecuencia digital 0≤w_d≤π/T se transforma en el intervalo de frecuencia analógica 0≤w_a≤∞ . Las transformaciones bilineales evitan el problema de solapamiento entre s y z, pero el precio que se paga es la compresión no lineal del eje de las frecuencias. Por consiguiente, el diseño de filtros en tiempo discreto mediante transformación bilineal sólo será útil cuando está compresión se tolera. Así, el uso de la transformación bilineal está limitado al diseño de aproximaciones a filtros con respuesta en amplitud constante a intervalos, como

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