Algeba De Boole

Introducción:

Conocer los elemento, las reglas y saber cómo simplificar operaciones con el álgebra de Boole así como la simbología que se utiliza en los sistemas digitales y las funciones booleanas.

Algebra de Boole

El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores que son diferenciados por 0 y 1, que están relacionados por dos operaciones binarias que son suma y producto

PROPIEDADES

1. Si a y b son elementos del algebra, se verifican

2. Existen dos elementos neutros el 0 y el 1

3. Cada operación es distributiva

Una operación fundamental que es la inversión o complementación siempre se encuentra en un estado binario contrario al de A.

La operación suma se asimila a las conexiones en paralelo de contactos y la operación producto a la conexión en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre el opuesto del primero, es decir está cerrado cuando aquél está abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que está siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado. Además se considera una función de transmisión entre los dos terminales de un circuito de contactos, que toma el valor 1, cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (corto circuito) y el valor 0 si no existe dicho camino (circuito abierto).

Teorema 1

Los elementos 0 y 1 se intercambian entre si.

Teorema 2

Para cada elemento A del álgebra de Boole se verifica:

a + 1 = 1 y a . 0 = 0

Teorema 3

Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica:

a + a = a y a . a = a

Teorema 4

Para cada par de elementos del álgebra de Boole a y b se verifica:

a + ab = a y a ( a + b) = a

Esta ley se llama Ley de Absorción.

Teorema 5

En un álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c a ( b c) = ( a b ) c = a b c

Teorema 6

Para todo elemento a del álgebra de Boole se verifica

Teorema 7

Este teorema define realmente dos nuevas funciones lógicas de gran importancia que serán utilizadas como elementos básicos para la realización de los sistemas digitales. Estas dos funciones que realizan las expresiones (1) y (2), se denominan respectivamente NOR y NAND. Las tres funciones elementales: suma, producto e inversión lógica pueden ser realizadas mediante las funciones NOR y NAND

FUNCIONES BOOLEANAS

Teorema 1 a) x + x = x b) x . x = x

Teorema 2 a) x + 1 = 1 b) x . 0 = 0

Teorema 3 involución (x’)’ = x

Teorema 3 conmutativo a) x + y = y + x b) xy = yx

Teorema 4 asociativo

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