Álgebra De Boole

República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Politécnica Del Estado Portuguesa IUTEP Araure- Acarigua (Edo) Portuguesa

Álgebra de Boole

Álgebra De Boole (también llamada retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas y, o , no y si (and,or,not,if), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico en el año 1854 .El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.

Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

Un álgebra de Boole es una tripleta . Donde , + y son operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:

Propiedad Conmutativa:

Propiedad Asociativa:

Propiedad Distributiva:

Propiedad De Los Neutros:

Existen tales que:

Como Retículo

Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:

Ley De Idempotencia:

Ley de Asociatividad:

Ley de Conmutatividad:

Ley de Cancelativo

Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación Suma

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación Producto

a b a b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación Negación

a

0 1

1 0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones Combinadas

a b

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

Leyes Fundamentales

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

Ley De Idempotencia:

Ley De Involución:

Ley Conmutativa:

Ley Asociativa:

Ley Distributiva:

Ley De Cancelación:

Ley De Identidad:

Leyes de De Morgan:

Principio De Dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

Álgebra de Boole aplicada a la informática

Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.

Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano.

El 0 Lógico

El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0".

...