Algebra De Boole

ALGEBRA DE BOOLE

I.1 DEFINICION.

George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por las que se rigen los razonamientos. En esa época nadie pudo prever la utilización de este álgebra en el diseño de circuitos digitales.

Como veremos las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables.

Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra de Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de sistemas digitales.

Se define Función Lógica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos + y x. Por ejemplo: S=(a.b)+b.c. Siendo S la función, mientras que a, b y c son las variables. Esta función la leeríamos de la siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la función lógica S es verdadera(1).

Mediante contactos podríamos explicar o aclarar la función lógica.

Cumplen las siguientes Propiedades:

a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra, se verifica:

a + b = b + a a .b = b .a

b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:

0 + a = a 1 .a = a

c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra:

a .( b + c) = a .b + a .c a + ( b .c ) = ( a + b ) .( a + c )

d) Para cada elemento a del álgebra existe un elemento denominado a , tal que:

a ̅ + a ̅ = 1 a .a = 0

Este postulado define realmente una nueva operación fundamental que es la inversión o complementación de una variable. La variable a se encuentra siempre en un estado binario contrario al de a. La tabla de verdad de la inversión o complemento, es:

Físicamente son varios los conjuntos que poseen dos operaciones binarias que cumplen los postulados desarrollados. Ejemplo de estos conjuntos son el álgebra de las proposiciones o juicios formales y el álgebra de la conmutación formada también por elementos que pueden tomar dos estados perfectamente diferenciados. Los primeros circuitos de conmutación o lógicos utilizados, han sido los contactos que pueden ser empleados para memorizar más fácilmente las leyes del álgebra de Boole antes expresadas y los teoremas.

La operación suma se asimila a la conexión en paralelo de contactos y la operación producto a la conexión en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre el opuesto del primero, es decir está cerrado cuando aquél está abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que está siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado. Además se considera una función de transmisión entre los dos terminales de un circuito de contactos, que toma el valor 1, cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (corto circuito ) y el valor 0 si no existe dicho camino (circuito abierto).

Teoremas de Algebra de Boole

Teorema 1

Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la operación + y . y los elementos 0 y 1 se intercambian entre sí.

Este principio, llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatros postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros.

Teorema 2

Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica:

a + 1 = 1 y a .0 = 0

Teorema 3

Para cada elemento a del álgebra de Boole se verifica:

a + a = a y a .a = a

Teorema 4

Para cada par de elementos del álgebra de Boole a y b se verifica:

a + ab = a y a ( a + b) = a

Esta ley se llama Ley de Absorción.

Teorema 5

En un álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c

a ( b c) = ( a b ) c = a b c

Teorema 6

Para todo elemento a del álgebra de Boole se verifica:

a = a

TEOREMA 7

En toda álgebra de Boole se verifica:

a + b + c + d + ……… = abcd

2) (abcd) ̅…………………… = a + b + c + d

Estas igualdades son denominadas Leyes de De Morgan.

Este teorema define realmente dos nuevas funciones lógicas de gran importancia que serán utilizadas como elementos básicos para la realización de los sistemas digitales. Estas dos funciones que realizan las expresiones (1) y (2), se denominan respectivamente NOR y NAND.

Las tres funciones elementales: suma, producto e inversión lógica pueden ser realizadas mediante las funciones NOR y NAND.

Aplicando el teorema de De Morgan tenemos:

ab = (a ) ̅b ̅ = a ̅ + (b ) ̅ a+b= (a+b ) ̅= a ̅ b ̅

La inversión se representa en general mediante un círculo; por lo tanto, los símbolos de la función NOR y NAND se deducen respectivamente de las funciones OR y AND añadiéndoles un círculo:

Las funciones NOR y NAND de una sola variable constituyen la función de inversión.

La realización de las funciones suma, producto e inversión con las funciones NOR y NAND se representan, mediante los símbolos estudiados:

FUNCIONES BOOLEANAS

1. DEFINICION

Una función de álgebra de Boole es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraica en la que se relacionan entre sí las variables binarias

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