Aplicacion Del Metodo Numerico Newton Rhapson En La Ingeniera Electrica

Método de Newton Raphson

Formulación general: Es más sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de cálculos, pero asegura convergencia en un mayor número de veces y además en forma más rápida. El problema matemático a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0. Es decir, se trata de un sistema de n ecuaciones de la forma:

Supongamos una estimación inicial del vector solución:

Al que le falta un residuo para llegar a la solución correcta. Esto es, tener f(xi0+Dxi0) = 0, aunque f(xi0) ¹ 0. El sistema se puede escribir ahora:

Desarrollando cada ecuación en serie de Taylor en torno a los valores xi0 se tiene:

Donde:

fi: residuo en la serie de Taylor, que contiene los términos de orden superior : representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en xi0 Como los Dxi0 son pequeños, se pueden despreciar los términos de orden superior y se obtiene:

Matricialmente se puede escribir:

Es decir:

En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el ángulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen en sus valores especificados. Por lo tanto, el sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del problema son V y q para cada barra PQ y q para cada barra PV. Por razones prácticas se da a la barra slack el número n y se colocan los primeros números a las barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendrá (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV).

Con DP y DQ calculados según (3.46) Luego, los valores actualizados para q y V son:

Despejando DP y DQ de (3.49), considerando (3.34) y arreglando adecuadamente, para hacer más fácil el manejo de las ecuaciones, se tiene:

Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las dimensiones de las sub-matrices que forman el Jacobiano son:

[H] es de (n-1) x (n-1) [N] es de (n-1) x m

[M] es de m x (n-1) [L] es de m x m

De acuerdo con lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de dimensión [(n-1)+m] x [(n-1)+m] A partir de (3.51), se obtiene que:

Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matriz Jacobiana como sigue: para

Se puede apreciar, que por la forma de la ecuación (3.51)

Para p = q

Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3.51).Utilizando este tipo de coordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el

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