CLASES TRIGONOMETRÍA

CLASES # 21-22

TRIGONOMETRÍA

Medición de un ángulo, trigonometría del triángulo rectángulo, ángulos notables

Objetivos:

1. Conocer las unidades de medida de un ángulo así como la relación entre dichas unidades.
2. Relacionar las funciones de ángulos complementarios
3. Definir las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
4. Calcular las funciones trigonométricas de los ángulos notables

Ángulo: Es la abertura originada por dos semirectas o dos segmentos de recta con origen común.  Las dos semirectas o  segmentos se llaman lados del ángulo y el punto común se llama  vértice.                           [pic 1]

                        OA: Lado terminal del ángulo[pic 2][pic 3]

                   OB: Lado inicial del ángulo

Angulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de una circunferencia.

[pic 4]

Angulo en posición normal o estándar: Un ángulo se dice que está en posición normal si tiene su vértice en el origen de coordenadas del sistema cartesiano, su lado inicial en el eje positivo de las x y se dirige en sentido antihorario (↶).

[pic 5]

Angulos positivos y negativos: Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj (↶) produce un ángulo positivo; una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, un ángulo negativo (↷) .

[pic 6][pic 7]

                                               Ángulo positivo          ángulo negativo

Tipos de ángulos

[pic 8]

Angulos complementarios y suplementarios

[pic 9]

Grado sexagesimal 1°: Es aquel ángulo central que subtiende un arco de longitud  igual a   partes de la circunferencia.[pic 10]

C[pic 11]

                           [pic 13][pic 12]

Radián: (1 rad) es aquel ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

[pic 14]

Longitud de arco:

                  [pic 15]

                       [pic 16]

Ejemplo:

1. Encuentre la longitud de arco de un círculo con radio 10 m que subtiende un ángulo central de 30°.

S = r θ = 10 x 30° = (10) x (π/6) = 5/3 πm =( 5/3) x (3.1416) m = 5,236 m

1. Un ángulo central θ en un círculo de radio de 4m es subtendido por un arco de longitud 6m

Encuentre una medida de  θ  en radianes.

S = r θ ;   θ = s  =   6m  =   3   = 1.5 rad

                      r        4m       2

Conversiones

Ejemplo:

1. Convertir 120º a radianes

            120º x _π_ = 2π

                      180º     3

1. Convertir π/4  a grados

             _π_  x 180º  =  45º

               4        π

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r está dada por:

x2 + y2 = r2 

[pic 19]

Una circunferencia se llama unitaria si su radio es 1

Trigonometría
Def. Sea p un punto de una circunferencia unitaria y α el ángulo formado por el eje positivo de las x y el segmento OP.[pic 20]

[pic 21]   

Se define senα como la ordenada del punto P y cosα  como la   abscisa del punto P; es decir:

[pic 22]

Las demás relaciones las definimos con base a las anteriores:

    [pic 23]

[pic 24]

Def. El complemento de [pic 25]

Ejm: El complemento de 60 es 90° - 60° = 30°

Nota: Las cofunciones son las funciones del complemento, por ejm

1. cosα = sen (90°- α )
2. cotα = tan (90°- α )
3. cscα = sec (90°- α )
4. cosα  (90°- α ) = sen [90°- (90°- α )] = senα

      cosα  (90°- α ) = senα

1. cot  (90°- α ) = tanα
2. csc (90°- α ) = secα

Funciones par e impar

1. Una función f es par si:

f(-x) = f(x) para todo x ∈ domf

1. Una función f es impar si:

f(-x) = - f(x) para todo x ∈ domf

Nota: las funciones pares son simétricas con respecto al eje y  y las impares son simétricas con respecto al origen.    

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