Ejercicios sección 4.3

Ejercicios sección 4.3

26. Sea Z una variable normal estándar y calcule las siguientes probabilidades (trace las figuras siempre y cuando sea apropiado)

a. P (0≤Z≤2,17)

b. P (0≤Z≤1)

c. P (-2.50≤Z≤0)

d. P (-2.50≤Z≤2.50)

e. P (Z≤1.37)

f. P (-1.75≤Z)

g. P (-1.50≤Z≤2.00)

h. P (1.37≤Z≤2.50)

i. P (1,50≤Z)

j. P (lZl≤2.50)

a) = Φ(2.17) – Φ(0) = 0.9859 – 0.5000= 0.4850

b) = Φ(1) – Φ(0) = 0.8413-0.5000 = 0.3413

c) = Φ(0) – Φ(-2.50) = 0.5000 – 0.0062 = 0.4938

d) = Φ(2.50) – Φ(-2.50) = 0.9938 – 0.0062 = 0.9876

e) = 0.9147 (directo de la tabla)

f) = 1 – Φ(-1.75) = 1 – 0.0401 = 0.9599

g) = Φ(2) – Φ(-1.50) = 0.9772 – 0.0668 = 0.9104

h) = Φ(2.50) – Φ(1.37) = 0.9938 – 0.9147 = 0.0791

i) = 1 – Φ(1.50) = 1 – 0.9332 = 0.0668

j) -2.50≤Z≤2.50= Φ(2.50) – Φ(-2.50) = 0.9938 – 0.0062 = 0.9876

27. En cada caso, determine el valor de la constante c que hace correcto el enunciado de probabilidad.

a. Φ (c)=0.9838

b. P(0≤Z≤c)=0.291

c. P(c≤Z)=0.121

d. P(-c≤Z≤c)=0.668

a) Z≤c=0.9838

Z≤2.41 = 0.9838

b) Φ(c) – Φ(0) = 0.291

c) 1- Φ(c) = 0.121

1 – 0.121 = Φ(c)

d) = Φ(c) – Φ(-c) = 0.668

28. Determine los percentiles siguientes para la distribución normal estándar. Interpole cuando sea apropiado.

a. 91

b. 9

c. 75

d. 25

e. 6

a) 0.9100 >> 0.9115 >> 1.3 y 0.05 >> 1.35 y -1.35

b) 0.0900 >> 0.0901 >> -1.3 y 0.04 >> -1.34 y 1.34

c) 0.7500 >> 0.7517 >> 0.6 y 0.08 >> 0.68 y -0.68

d) 0.2500 >> 0.2514 >> -0.6 y 0.07 >> -0.67 y 0.67

e) 0.0600 >> 0.0606 >> -1.5 y 0.05 >> -1.55 y 1.55

29. Determine Z0 para lo siguiente

a. 0=0.0055

b. 0=0.09

c. 0=0.663

a) Z0.0055 = 100(1 – 0.0055) = 99.45

b) Z0.09 = 100(1 – 0.09) = 91

c) Z0.663 = 100(1 – 0.663) = 33.7

30. Se X es una va normal con media 80 y desviación estándar 10, calcule las siguientes probabilidades mediante estandarización:

a. P (X≤100)

b. P (X≤80)

c. P (65≤X≤100)

d. P (70≤X)

e. P (85≤X≤95)

a) = Φ((100-80)/10) = Φ2 = 0.9772

b) = Φ((80-80)/10) = Φ(0/10) = 0.5000

c) = Φ((100-800/10) – Φ((65-80)/10) = Φ(2) – Φ(-1.5) = 0.9772 – 0.0668 = 0.9104

d) = 1 – Φ((70-80)/10) = 1 – Φ(-1) = 1 – 0.1587 = 0.8413

e) = Φ((95-80)/10) – Φ((85-800/10) = Φ(1.5) – Φ(0.5) = 0.9332 – 0.6915 = 0.2417

31. Suponga que la fuerza que actúa en una columna que ayuda a sostener un edificio tiene una distribución normal con media de 15.0 kips y desviación estándar de 1.25 kips. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza

a. sea a lo sumo 18 kips?

b. se encuentre entre 10 y 12 kips?

a) = Φ((18-15)/1.25) = Φ(2.4) = 0.9918

b) = Φ((12-15)/1.25) – Φ((10-15)/1.25) = 0.0082 – 0 = 0.0082

32. En el artículo “Reliability of Domestic-Waste Biofilm Reactors” (J. of Envir. Engr., 1995:785-790) se sugiere que la concentración de sustrato (mg/cm3) de flujo entrante a un reactor tiene una distribución normal con =0.30 y =0.06.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración sea mayor de 0.25?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración sea a lo sumo 0.10?

c. ¿Cómo se caracterizaría el 5% más grande de los valores de concentración?

a) Z≥0.25

1- Φ ((0.25-0.30)/0.06) = 1 – Φ(-0.83) = 1 – 0.2033 = 0.7967

b) Z≤0.10

Φ((0.10-0.30)/0.06) = Φ(-3.33) = 0.0004

c) Z≤0.05

Φ((0.05-0.3)/0.06) = Φ(-4.16) = Su valor no se encuentra en las tablas

Podemos deducir que su valor es tan pequeño que ese 5% se caracteriza por tener una probabilidad demasiado pequeña, por lo que es casi imposible que

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