Estadística Descriptiva Bi variante

Estadística Descriptiva Bi variante.

Introducción

En este tema estudiaremos las relaciones existentes entre dos

variables

La naturaleza de las características objeto de estudio

determinará las herramientas estadísticas más adecuadas

para su análisis

En cualquier caso, para realizar el análisis utilizaremos tablas

estadísticas, representaciones gráficas y resúmenes numéricos

Tablas de doble entrada.

Una primera forma de resumir la información contenida en los datos es por medio de tablas de frecuencias

Frecuencia Relativa Y Absoluta

Definición 1

Se denomina frecuencia total al número total de individuos observados o número total de datos, N.

Se denomina frecuencia absoluta del par (Ai, Bj), al número de individuos, nij, de entre los N, que poseen la modalidad Ai de X, y la modalidad Bj de Y a la vez.

Se denomina frecuencia relativa del par (Ai, Bj), al cociente fij = nij/(N )

Definición 2

Se dice que se ha dado la distribución conjunta de las variables estadísticas X e Y si se dan las modalidades de las variables y las correspondientes frecuencias (absolutas o relativas) con que aparece cada par.

La forma de dar estos valores es por medio de tablas en las que aparecen las distintas modalidades de las variables (ordenadas de menor a mayor, si la variable es cuantitativa). En la tabla pueden aparecer frecuencias relativas en lugar de absolutas y en ocasiones, se indican ambas.

Si las dos variables X e Y son cualitativas, la tabla correspondiente recibe el nombre de tabla de contingencia.

Propiedades 1

Distribución de alumnos por titulación y sexo:

Representaciones graficas de las distribuciones bidimensionales de frecuencias.

Las distribuciones marginales y condicionadas son distribuciones unidimensionales, como ya se ha indicado y, por tanto, sus representaciones graficas se ajustaran a las vistas en la sección de distribuciones unidimensionales de frecuencias.

Se van a considerar solo representaciones graficas de distribuciones bidimensionales:

Diagrama de Mosaico. Sobre el eje Y se representan las modalidades de una de las variables

y sobre cada una se levanta un rectángulo con área proporcional a la frecuencia marginal de la modalidad. Cada rectángulo se subdivide en subrectangulos de base proporcional a la frecuencia condicionada de cada valor de la otra variable a esta modalidad. De esa manera se da también una imagen gráfica de la distribución conjunta de ambas variables (proporcionada por el área de cada subrectangulo).

En el ejemplo de la distribución de alumnos por titulación y sexo:

Diagramas de barras. Se utiliza para representar la distribución cuando ambas variables tienen pocas modalidades.

Consiste en dibujar para cada par (Ai, Bj) una barra de longitud proporcional a la frecuencia (relativa o absoluta). Las barras se pueden disponer de diversas formas. Damos dos ejemplos:

Histograma tridimensional. Se utiliza para representar la distribución cuando ambas variables son continuas y agrupadas en intervalos.

Consiste en representar las clases de cada variable en un plano y levantar sobre cada rectángulo un paralelepípedo de volumen proporcional a la frecuencia relativa o absoluta.

Si los rectángulos base de todas las clases son iguales, los paralelepípedos que se levantan, y que tienen que verificar que su volumen sea proporcional a la frecuencia de la clase, tendrán como altura un valor proporcional a las frecuencias (relativas o absolutas).

Diagrama de dispersión o nube de puntos. Se utiliza para variables cuantitativas sin agrupar en clases y en las que no existen pares de valores repetidos.

Consiste en representar cada par de puntos (xi, yj) en un plano. Permite obtener también una representación gráfica de las distribuciones marginales de X e Y, si se proyectan los puntos sobre cada eje (se obtiene así el diagrama de puntos para cada variable).

En el siguiente grafico están representados, para una población de cereales de uso común en el desayuno, el contenido de carbohidratos y de calorías para 100gr de producto:

Distribuciones Marginales

A partir de una distribución conjunta de dos variables es posible estudiar la distribución de cada una de las variables aisladamente (es decir, independientemente de los valores que tome la otra variable).

Los valores de las frecuencias para las variables X e Y se obtienen a partir de la tabla conjunta, anotando en los márgenes de la tabla la suma de los valores de cada fila y de cada columna:

Las frecuencias relativas y absolutas, respectivamente, de la modalidad Ai de la variable X son:

Las frecuencias relativas y absolutas, respectivamente, de la modalidad Bj de la variable Y son:

Observación 1 Las distribuciones marginales de X e Y son distribuciones invariantes; en este sentido, puede aplicárselas todo lo estudiado en el tema anterior. En particular, si son variables cuantitativas, tendrán asociada media, varianza, etc.

Ejemplo:

Distribución de alumnos por titulación y sexo:

La distribución marginal de Titulación es:

Distribuciones condicionadas.

Definición 3

Se define la distribución condicionada de Y cuando X = Ai (respectivamente, de X condicionada a Bj) , que se denota por Y/(X = Ai) (

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