Guia De Matematica

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

a. SIMBOLOS MAS UTILIZADOS PARA DETERMINAR CONJUNTOS

CONJUNTOS NUMERICOS NOTABLES:

Los números más simples son los números naturales

Con ellos podemos contar.

Si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los Enteros.

Cuando tratamos de medir longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, están demasiados espaciados para dar la suficiente presicion. Los números que se pueden escribirse en la forma y son enteros y , se llaman números racionales”Q”. ¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? NO. Este sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos griegos varios siglos antes de cristo. Demostraron que a pesar de que mide la hipotenusa de un triangulo rectángulo cuyos lados tienen longitud unitaria, no puede escribirse como cociente de dos enteros por lo tanto es Irracional.

Considérese al conjunto de todos los números (Racionales y Irracionales) que pueden medir longitudes, juntos con sus inversos aditivos y el cero, reciben el nombre de NUMEROS REALES.

ALGEBRA ELEMENTAL

CONCEPTOS BASICOS

a. Expresión Algebraica:

Es una expresión constituida por letras, números y otros símbolos algebraicos. Las partes de las mismas que estén conectadas por signos mas (+) o menos (-) se denominan términos. En todo termino se distinguen dos partes: el coeficiente (numero) y la variable (letras); esta ultima siempre estará elevada a un exponente natural.

Son ejemplo de expresiones algebraicas de un solo término (monomios):

Los coeficientes de cada términos son 3, -2, , -7, 1 y las variables son x, z, a, y respectivamente. La variable del término -7 es . De igual manera son ejemplo de expresiones algebraicas de dos términos (binomios):

De forma similar, la expresión consta de tres términos (trinomio).

b. Polinomio:

Cualquier suma de expresión algebraica se denomina polinomio. Los polinomios más sencillos son aquellos que se expresan en función de una sola variable.

En general, un polinomio en una variable es toda expresión algebraica de la forma

En donde:

X es la variable o indeterminada;

Son los coeficientes;

Se denomina termino independiente (Va asociado a la variable );

n, n-1,…, 3, 2, 1, 0 son los exponentes de las variables.

El mayor de los exponentes con el cual la variable aparece con coeficiente no nulo se denomina grado del polinomio.

Por Ejemplo, en el polinomio , la variable es t, los coeficientes son: 3, 2 y -8, el término independiente es 0, y su grado es 5.

c. Valor numérico de un polinomio

Es el valor que se obtiene al sustituir la(s) variable(s) del polinomio por números y efectuar las operaciones indicadas

Ejemplo: El valor numérico del polinomio

Para x = 2

De igual forma, el valor numérico del polinomio en dos variables:

Para a = 1 y b = 2 es:

OPERACIONES CON POLINOMIOS

a. Suma

Dados dos polinomios cualesquiera P (x) y Q (x), su suma es otro polinomio, cuyos términos se obtienen sumando algebraicamente los coeficientes de los términos que posean igual parte literal (términos semejantes). El grado del polinomio suma siempre corresponde al mayor grado de los polinomios sumados

Ejemplo a: Calcular la suma de los siguientes polinomios

Al sumar los términos semejantes de los polinomios se obtiene:

La suma de los polinomios cumple con las siguientes propiedades:

Asociativa:

Existencia de elemento neutro: , en donde el polinomio 0(x) tiene todos sus coeficientes iguales a ceros y se denomina polinomio nulo. Además, es de grado cero.

Existencia de elemento simétrico: en donde los coeficiente del polinomio S(x) son opuesto de P(x) y se denota como –P(x)

Conmutativa:

Con base en la existencia del elemento simétrico, podemos definir la sustracción de polinomios como un caso particular de la adicción que consiste en sumar el primer polinomio el opuesto del segundo. Es decir

Ejemplo b: Con los polinomios del ejemplo a, determine

=

Sumando términos semejantes, se obtiene:

b. Multiplicación de Monomios

Dados 2 monomios, su producto corresponde a otro monomio que se obtiene multiplicando los coeficientes respectivos y las partes literales que los acompañan.

Ejemplo: Dados los monomios , calcular su producto.

Al multiplicar sus coeficientes y potencias respectivas, se obtiene:

c. Multiplicación de polinomios

Dados dos polinomios cualesquiera P(x) y Q(x), su producto es otro polinomio, cuyos términos se obtiene multiplicando todas las parejas de monomios que se puedan formar con los mismos. El grado del resultado corresponderá a la suma de los grados de los polinomios que intervienen.

Ejemplo: Dado los polinomios F(x) y G(x), Calcular su producto, siendo

La multiplicación de ambos polinomios será:

Aplicando la definición se obtiene:

Sumando términos semejante resulta:

La multiplicación de polinomios cumple con las siguientes propiedades:

Asociativa:

Existencia de elemento neutro: , en donde el polinomio I(x) = 1, llamado polinomio identidad, su grado es cero.

Conmutativa:

Distributiva respecto a la adición:

PRODUCTOS NOTABLES

Son multiplicaciones entre polinomios que, debido a la frecuencia con que aparecen, se realizan en forma directa mediante la aplicación de mecanismos preestablecidos. A continuación se enumeran las más utilizadas:

Ejemplo: Efectuar y simplificar

Desarrollando cada producto notable por separado, se obtiene:

Sustituyendo los resultados, eliminando paréntesis y sumando términos semejantes, resulta:

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorizar un polinomio significa escribirlo como el producto de varios polinomios más simples. Los principales casos de factorización son:

a. Factor Común: ( F.C)

Es todo factor que se repite en cada uno de los términos del polinomio

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