Metodo Grafico

MÉTODO GRÁFICO

El gráfico es un método de solución de problemas deprogramación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).

EL PROBLEMA

La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL

VARIABLES

XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar

RESTRICCIONES

0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”

0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”

0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”

Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.

FUNCIÓN OBJETIVO

ZMAX = 4000XT + 5000XT’

LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO

PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES

Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables

XT = x

XT' = y

Igualamos las restricciones,

0,12X + 0,2y = 500

0,15X + 0,1y = 300

0,072X + 0,027y = 108

Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.

Por ejemplo, para un x = 0

0,12(0) + 0,2y = 500

0,2y = 500

500/0,2 = y

2500 = y

y para un y = 0

0,12x + 0,2(0) = 500

0,12x = 500

x = 500/0,12

x = 4167

Bryan Antonio Salazar López

Seguimos con la segunda restricción,

0,15X + 0,1y = 300

Bryan Antonio Salazar López

Tercera restricción,

0,072X + 0,027y = 108

Bryan Antonio Salazar López

En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.

Bryan Antonio Salazar López

Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).

La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).

Función objetivo,

ZMAX = 4000x + 5000y

luego igualamos a 0.

4000x + 5000y = 0

luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).

Bryan Antonio Salazar López

Una vez se ha esbozado la función objetivo (línea negra) sacamos replicas perpendiculares a esta que se encuentren con cada vértice, y solo en el caso en que la línea imaginaria perpendicular a la función objetivo no corte el polígono solución se ha encontrado la solución óptima. En otras palabras trasladamos la función objetivo por todo el polígono conservando la perpendicularidad con la original, la detenemos en los vértices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solución.

Bryan Antonio Salazar López

Claramente solo en el punto "B", es decir en el vértice formado por la intersección de las ecuaciones 1 y 2, la línea imaginaria no corta el polígono solución, entonces es este punto el correspondiente a la coordenada óptima.

Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolución de ecuaciones lineales 2x2, y se pueden considerar varios métodos de solución entre ellos:

- Método por sustitución

- Método por igualación

- Método por reducción o Eliminación

- Método por eliminación Gauss

- Método por eliminación Gauss - Jordán

- Método por determinantes

La riqueza de las matemáticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el método de reducción o eliminación es muy sencillo de aplicar.

El método por reducción o eliminación consiste en igualar los coeficientes de una de las variables multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos coeficientes queden iguales pero con signos contrarios.

Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500

Ecuación 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)

Ecuación 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600

Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100

Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)

x = 555,55

luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales

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