Poisson

4.2. Criterios bajo la distribución de Poisson y exponencial para la selección del modelo apropiado de líneas de espera.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

La función de masa o densidad de la distribución de Poisson es

Donde

• X es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente X veces).

• λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra X veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

• e es la base de los logaritmos naturales (e = 2.71828 ...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria.

Cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n- ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero

Es igual a el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson son:

* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo.

* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.

* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.

Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.

Distribución de llegada Poisson

Un problema que ilustra la distribución Poisson.

Los clientes

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