Programaciòn Lineal

La programación lineal es un método que permite maximizar o minimizar determinada cantidad, asegurando que simultáneamente otras cantidades cumplen ciertas condiciones (restricciones). Sirve para tratar problemas con gran número de variables y opciones pero que no involucran incertidumbre.

La aplicación real de la PL es en el tratamiento de temas complejos.

Los problemas que se tratan con PL deben tener tres partes:

1. Una función objetivo: Maximizar (o minimizar) la variable crítica de decisión. Ej, maximizar la utilizad o minimizar costos. Solo puede existir una función
2. Restricciones: son las limitaciones en los recursos necesarios para obtener el objetivo propuesto en la variable crítica, ej, la máxima cantidad de unidades que puede producir una máquina. Para expresar las restricciones usamos los signos de mayor que, igual que, menor que, mayor o igual etc.
3. Restricciones de no negatividad. En PL las variables no pueden adoptar valor negativo, aunque si 0.

Solución gráfica

La solución de problemas de PL mediante gráfica es posible en aquellos problemas con dos o tres variables, pero no en los que tienen 4 o más. De allí que su utilidad como método de resolución de problemas reales sea casi nula.

Como ninguna restricción tiene variables elevadas a potencias (distintas de uno), ni tampoco se multiplican entre sí, su representación puede ser lineal; el límite de la restricción es una línea recta; todo punto que sea superior a esa línea no es posible para esa restricción y al contrario. El área delimitada por las restricciones se llama región factible ya que cualquier punto de esta área cumple con todas las restricciones del problema.

Una vez delimitada la región factible es necesario determinar, de todos los puntos de esta región, cuál es el que genera la máxima utilidad.

Los valores óptimos siempre se encuentran en los bordes de la región factible, pegados a las restricciones. Una vez en el borde surge la pregunta ¿debemos disminuir o aumentar la producción del otro producto a expensas del primero? Resulta natural encontrar que la respuesta óptima siempre estará en un vértice, es decir en nuestro punto de encuentro de dos restricciones.

Para tres variables la lógica es la misma, solamente que los límites de las restricciones en lugar de ser líneas son planos, la región factible no será un área sino un volumen y los puntos óptimos se encontrarán en la intersección de los planos. El razonamiento es idéntico para más variables, pero no lo podemos representar.

Función de utilidad es la representación gráfica de todas las combinaciones de las variables, para un nivel constante de utilidad. Al aumentar el valor de utilidad, la recta se desplazará hacia la derecha y hacia arriba en la gráfica, pero su pendiente no cambiará.

Podríamos decir que el objetivo de la Programación Lineal es llevar la función de utilidad lo más derecha y lo más arriba posible, sin salirnos totalmente de la región factible; el último punto de contacto será la solución óptima a nuestro problema.

Si la pendiente de la función de utilidad coincide con la de una restricción, cualquier punto de este límite será una respuesta óptima, incluidos, lo dos vértices.

Problemas sin solución posible

No todos los problemas de PL tienen solución. Ej, si nuestra capacidad de producción es máxima 100 productos y en el mercado solo existe para paquetes de más de 200. Serían planos sin puntos en común, sin región factible.

Restricciones con signo igual

Una restricción puede tener un signo igual. Si el problema es de dos variables, la gráfica de esta restricción será una línea recta, y la de región factible será el segmento de esta línea que se encuentre en el plano formado por la “región factible” de las otras restricciones.

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