PROGRAMACION LINEAL

Introducción

Hoy día, los gerentes de las empresas le dan mucha importancia a la práctica de la administración, más cuando se encuentra enfocada al campo de la investigación de operaciones. Dicho esto, la programación lineal es uno de los métodos matemáticos más utilizados en uso en la investigación de operaciones.

Como se sabe, en la práctica la administración dispone de una serie de elementos como la mano de obra, dinero, materias primas y equipos, cuyo suministro es limitado o restringido.

Si los recursos de una empresa fueran ilimitados, no habría necesidad de las herramientas de la ciencia de la administración. Es decir, las organizaciones deben hallar la mejor asignación de sus recursos para maximizar sus ganancias y minimizar sus costos. Lo que no resulta sencillo, de allí la pertinencia de métodos cuantitativos y modelos matemáticos que faciliten y simplifiquen este trabajo.

En este sentido, la programación lineal permite determinar la mejor asignación de los recursos limitados de una empresa, y está referida a la resolución de un modelo matemático con las siguientes características

La programación lineal tiene como objetivo primordial buscar la solución que permita resolver un problema a fin de dar una respuesta que posibilite al gerente tomar las decisiones más pertinentes para el beneficio de la empresa en un momento determinado.

                                                 PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es un método matemático para soporte a la toma de decisiones y resolución de problemas donde el objetivo es optimizar (maximizar o minimizar) algún indicador o medida de resultado, a partir de seleccionar los valores de un conjunto de variables de decisión, respetando restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales) , tales restricciones obedecen a limitaciones de recursos productivos, condiciones de mercado, especificaciones técnicas, u otras condicionantes que limiten la libertad de elección.

Comúnmente La programación lineal es una de las técnicas más útiles de la investigación de operaciones en una amplia gama de problemas empresariales Y utilizada en el ejercicio de la ingeniería, para abordar problemas de productividad económicos, industriales, financieros, etc, de acuerdo a la satisfacción de determinadas restricciones – por ejemplo: recursos, principalmente los limitados y costosos -, de acuerdo a un criterio de optimización: maximizar un beneficio o minimizar un costo.

Cuando se hace referencia a rendimiento, se está hablando de la optimización del sistema que puede ser de dos formas así:

• Maximización, cuando lo que se persigue es el máximo de utilidad o ingreso.
• Minimización, cuando se persigue un mínimo de costos o egresos de una empresa.

En términos generales la programación lineal es un método matemático que permite analizar y determinar la mejor manera de distribuir una cantidad de recursos limitados en procura de lograr un objetivo expresable en maximizar o minimizar una determinada cantidad.
Elementos de un modelo de programación lineal

Un modelo de programación lineal tiene los siguientes elementos:

a) Variables de decisión

Son en teoría, factores controlables del sistema que se está modelando, representan la decisión que debe tomarse; es decir, los valores que espera el decisor en respuesta a su problema de decisión; conformarán la recomendación final del proyecto y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.

b) Función objetivo

Expresa matemáticamente el indicador o medida de resultado que se desea optimizar. Por lo general representa utilidades, costos o desperdicios, o cualquier otra medida que se desea maximizar o minimizar, según corresponda a los objetivos de la empresa, organización o sistema. Es función de las variables de decisión.

Puede ser representada de las siguiente manera:              

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Los coeficientes C1, C2...., Cn son los coeficientes de costo (conocidos) o de ingresos, según el tipo de problema que estemos resolviendo. Por otra parte, X1, X2. . . . , Xn son las variables de decisión (variables, o niveles de actividad) que deben determinarse de tal manera que  se alcance el objetivo dentro de las restricciones que enfrenta el problema

c) Restricciones

Expresan matemáticamente la escasez de recursos o condiciones de mercado a las que debe sujetarse la solución. Limitan el valor de las variables de decisión y por tanto el valor de la función objetivo. Un modelo de programación lineal puede tener más de una restricción y todas ellas son funciones de las variables de decisión.

Las restricciones, expresadas mediante desigualdades lineales, están compuestas por los coeficientes técnicos (Aij), las actividades o procesos (Xn), las cuales también se tomaron en cuenta en la función objetivo y además los niveles o limitaciones (Bi). El conjunto de restricciones se expresa de la siguiente manera:

                       
 
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Propiedades de los modelos de programación lineal

Tanto las funciones de restricción como la función objetivo son expresiones lineales y por tanto cumplen las siguientes propiedades:

a) Aditividad

Esta propiedad establece que la contribución de cada variable de decisión al valor de la función objetivo o al valor de las funciones de restricción es independiente de otras variables, dicha contribución se suma algebraicamente al aporte de esas otras variables.

Se explicará esta propiedad con los siguientes ejemplos:

En el caso de que una función objetivo que represente ingresos por la venta de los productos que una empresa comercializa y las variables de decisión representen las cantidades a vender de dichos productos. Si esta propiedad se cumple, se debe verificar que el aporte a los ingresos (al valor de la función objetivo) se sume al ingreso que aportan los otros productos.

Puede suceder que la función objetivo de un problema que representa los ingresos de una empresa que comercializa un producto dependa del número de vendedores que la empresa contrate (X), de la cantidad de productos que se le asignan a cada vendedor para vender (Y), así como de la ganancia unitaria que podría ser, por ejemplo, 3 soles por producto. Esa función objetivo sería:

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