Resistencia De Materiales

3

TORSIÓN

3.2. Deducción de las fórmulas de torsión:

En la figura 3-1 se muestran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB, en la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo θ respecto de la sección en A. Se puede adquirir una representación intuitiva de cómo se forma esta hélice de la manera siguiente:

Imaginemos que el árbol está formando por innumerables ‹‹rebanadas›› o porciones eliscoidales muy delgadas, todas ellas perfectamente rígidas y unidas mediante fibras elásticas. La ② sufrirá una rotación, resbalando sobre la ① hasta que las fibras elásticas que las unen se deformen y produzcan, al estirarse, un par resistente igual al par aplicado. En este momento, las “rebanadas” o porciones discoidales ① y ② actuarán como un conjunto único y rígido, transmitiendo el par torsionante a la ③; esta girará hasta que las fibras elásticas que la unen a ② desarrollen como antes un par resistente igual al par aplicado, y así sucesivamente propagándose la deformación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice AC es la línea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas infinitamente delgadas, puntos que antes de la deformación estaban sobre AB. Esta descripción intuitiva de la deformación por torsión θ de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsión se incrementa.

Consideremos ahora una fibra cualquiera a una distancia ρ del eje del árbol. Por la hipótesis 3 de la sección 3-1, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo θ, produciéndose una deformación tangencial δ igual a DE. La longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio ρ y ángulo θ y viene dada por:

δ=DE= ρ θ (a)

En estas condiciones, la distorsión es:

γ= δ/L= (ρ θ)/L (b)

y el esfuerzo cortante, según la ley de Hooke:

τ=G γ=((G θ)/L) ρ (c)

La expresión (c) se suele llamar ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas. Obsérvese que los términos de paréntesis son constantes que no dependen de la posición de la fibra; de aquí que el esfuerzo cortante en un punto interior sea el producto de una constante por una distancia al centro, es decir, la distribución de esfuerzos a lo largo de cualquier radio varia linealmente con la distancia al centro de la sección. La figura 3-1 representa gráficamente esta variación a lo largo de OB; el esfuerzo cortante máximo, τ_max, tiene lugar evidentemente en las fibras exteriores.

Siguiendo el procedimiento general de la sección 3-1 se divide el árbol en dos mediante una sección M-N perpendicular a su eje y se traza el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una de las partes, como el representado en la figura 3-2.

Un elemento diferencial se área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente dP=τ.dA, ya que al ser diferencial se puede admitir que el esfuerzo es constante dentro del elemento. Como la misión de estas fuerzas resistentes, que representan la acción sobre esta sección de la parte del sólido, es oponerse al momento torsionante aplicado T, han de tener la dirección perpendicular al radio para producir el máximo efecto. En una sección circular esto es matemáticamente cierto, pero difícil de demostrar aquí; baste con decir, aunque se considere como axioma, que, como consecuencia del principio de conservación de la energía, las fuerzas resistentes se distribuyen siempre de manera que sean lo más eficaces posibles y que, por tanto, dP ha de ser perpendicular a ρ de forma que produzca la máxima resistencia a la torsión.

Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición ∑▒M=0, es decir, que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torsionante aplicado. El par resistente T es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP:

T=T_r=∫▒〖ρ.dP〗=∫▒〖ρ(τ.dA)〗

Sustituyendo τ por su valor dado en (c) resulta:

T=(G θ)/L ∫▒〖ρ^2.dA〗

Ahora bien, ∫▒〖ρ^2.dA〗=J, es el momento polar de inercia de la sección recta, con lo que:

T=(G θ)/L J

que también se suele escribir en la forma:

θ=TL/JG (3-1)

A fin de expresar θ en las unidades apropiadas (radianes), T debe estar en N.m y L en m; J por supuesto está en m^4 y G en N/m^2. Si deseamos expresar θ en grados, multiplicamos el segundo miembro de la ecuación (3-1) por la fracción unitaria, 180 grad/π.rad =57.3 grad/rad.

Sustituyendo el valor de (G θ)/L en la ecuación (c) por su equivalente T/J dado por (3-1) se obtiene:

τ=Tρ/J (3-2)

que es la fórmula de la torsión. Para calcular el máximo esfuerzo cortante, que es la expresión más utilizada en la práctica, se sustituye ρ por el radio r del árbol, es decir:

τ_max=Tr/J (3-2a)

obsérvese que al haber aplicado la ley de Hooke en la deducción de estas fórmulas, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad. Además, conviene insistir en que estas expresiones solo son válidas en el caso de secciones circulares, llenas o huecas.

En la figura 3-3 se muestran los valores del omento polar de inercia para secciones circulares. Sustituyendo estos valores en la fórmula de la torsión, está adquiere las siguientes formas:

Eje macizo: τ_max=2T/(πr^3 )=16TD/(πd^3 ) (3-2b)

Eje hueco: τ_max=2TR/(π(R^4-r^4))=16TD/(π(D^4-d^4)) (3-2c)

En muchas aplicaciones prácticas, los árboles se utilizan para transmitir potencia. Del estudio de la dinámica se sabe que la potencia P transmitida por un par constante T que gira a velocidad angular constante ω esta dada por:

P=T.ω

donde ω esta medida en radianes por unidad de tiempo. Si el árbol gira a una frecuencia de ʄ revoluciones por unidad de tiempo, ω=2.π.ʄ , y se tiene

P=T.2.π.ʄ

Así, el momento torsionante transmitido puede expresarse como

T=P/(2.π.ʄ) (3-3)

Con P medida

...