SISTEMAS REALIMENTADOS LABORATORIO 3
Enviado por Anthony Rincon Medellin • 17 de Octubre de 2017 • Práctica o problema • 1.531 Palabras (7 Páginas) • 275 Visitas
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
SISTEMAS REALIMENTADOS
LABORATORIO 3
Entrega: 13 octubre 2017
Anthony Rincón Medellín
Sthephania Fernandez
Objetivos:
- Tener la capacidad de determinar la alcanzabilidad y observabilidad de un modelo de espacio de estados.
- Colocar en práctica el diseño del estimador de estados y el control realimentado.
- Verificar el efecto del controlador de realimentación en un sistema.
Pre – Lab – Aircraft
Problem 1 – Motor Speed
El modelo de la ilustración ¿?? hace referencia al modelo equivalente de un motor DC común para los sistemas de control. El cual provee movimiento de rotación, que se acopla las ruedas o cables de rodamiento. De acuerdo con el modelo planteado, la entrada al sistema es la fuente de alimentación V aplicado a la armadura del motor. Mientras que la salida es la velocidad rotacional del eje . Para el desarrollo del modelo planteado en el laboratorio asumiremos rigidez en el rotor y el eje. Finalmente asumimos en el modelo la fricción viscosa que indica la proporcionalidad a la velocidad angular del eje.[pic 2]
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Ilustración ¿??. Diagrama de cuerpo libre del rotor y su equivalente representación como circuito eléctrico.
Siguiendo el desarrollo del laboratorio y las consideraciones de descritas para la ilustración 1, se tomarán lo siguientes parámetros brindados en la guía. Estos son:
- donde: J: Momento de inercia del rotor.[pic 4]
- b: Factor de amortiguamiento del sistema mecánico.[pic 5]
- K: Fuerza electromotriz constante.[pic 6]
- R: Resistencia eléctrica.[pic 7]
- L: Inductancia eléctrica.[pic 8]
Revisando las fuentes de consulta, encontramos que el modelo de ecuaciones[1] descrito para el desarrollo del problema es el siguiente:
El torque relacionado con la armadura de motor es:
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La fuerza electromotriz proporcional a la velocidad angular de eje es:
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Utilizando las leyes de Kirchoff describimos la siguiente LVK sobre el modelo del circuito planteado en la ilustración ¿??:
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Derivando el sistema obtenemos las ecuaciones de estado para el sistema asociado al problema. Así:
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Asociamos el espacio de estados a:
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Cambiando a:
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Reescribimos el sistema a espacio de estados de la siguiente manera:
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Ahora usando Mathematica como herramienta computacional obtenemos los siguientes datos alrededor del sistema planteado en la ilustración ¿??. Ingresamos los valores de los parámetros en el entorno de Mathematica e ingresamos el comando para obtener el modelo en espacio de estados. Tenemos que:
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Continuando con el procedimiento del laboratorio, ingresamos los datos necesarios para obtener la respuesta de salida del sistema en open-loop. Entonces:
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Ilustración ¿??. Gráfica de respuesta de salida para Motor – Speed.
Para poder determinar saber si el sistema es estable, asintóticamente estable, o inestable. Basta con hallar los valores propios de la matriz A del sistema modelado y corroborar con la ayuda de la herramienta de simulación:
Para los valores propios:
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Utilizando la formula cuadrática es posible encontrar las lambdas asociados a los vectores propios que el problema nos está solicitando. Entonces:
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Por lo tanto, los valores propios asociados al sistema y calculados manualmente son y Los cuales verificaremos usando la herramienta computacional. Así:[pic 39][pic 40]
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Los vectores propios coinciden al desarrollar el método teórico sobre la matriz A asociada al problema dado. Concluimos que el sistema es globalmente asintóticamente estable porque cumple la condición estricta sobre la parte real de las lambdas. Donde se estipula que:
Si y solo si [pic 42]
Al cumplir la condición de estabilidad, procedemos a diseñar el controlador y su respectivo estimador de estados. Para ello debemos obtener teóricamente la matriz de alcanzabilidad y observabilidad. Procedemos con la definición que comprueba que si el determinante de sea diferente de cero y para también su determinante sea diferente de cero. Entonces:[pic 43][pic 44]
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Tomando los datos de las matrices A, B, C y reemplazando el valor de L = 0.5 mH:
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Ahora para alcanzabilidad,
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Como el determinante es diferente de cero. Concluimos que la matriz es alcanzable. Continuamente hacemos el mismo proceso para el test de observabilidad:
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Por lo tanto, el sistema es observable porque su determinante es diferente de cero. Pero antes de diseñar el controlador y el observador de estados, comprobamos en Mathematica la observabilidad y alcanzabilidad. Por consiguiente:
Para observabilidad:
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