Sistemas Numericos

FUNDAMENTOS DE INFORMÁTICA, LÓGICA Y PROGRAMACIÓN

WILSON PIMIENTO

CAMILO PORRAS

DAVID VELANDIA

CAMILO LADINO

SEBASTIAN BARRETO

LORENA MARROQUIN

UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA

2012

SISTEMAS NUMERICOS

Entendemos que las Matemáticas son un conjunto de conocimientos que nos ha permitido entender de forma precisa de muchos fenómenos naturales que a diario suceden en nuestro hábitat. Esto nos ha permitido hacer exploraciones en diversos campos de la ciencia traduciendo estas exploraciones en grandes inventos tanto en tecnología como en el resto de aéreas que de una u otra forma afectan nuestra forma o estilo de vida.

Uno de los más grandes inventos en nuestra era en el área de la tecnología es la computadora que mediante modelos o sistemas numéricos matemáticos permiten realizar un sin número de tareas y actividades que hoy en día son de vital importancia para la vida de cada uno de nosotros.

Los sistemas numéricos se definen como reglas o símbolos que nos sirven para mostrar o diagramar cifras o cantidades. Estos sistemas de numeración se caracterizan fundamentalmente por tener una base numérica, definida como el número de unidades que conforman el grupo de referencia para poder establecer un conteo adecuado. Esta base le da el nombre el nombre al sistema de numeración.

Los sistemas de numeración según su base más usados son:

• Base Decimal

• Base Binaria

• Base Octal y

• Base Sexagesimal

Hay que aclarar que aunque estas bases son las más usadas no son las únicas, pues se puede formar bases con cualquier número. Esto significa que podemos trabajar bases como: Base3, Base4, Base5, Base6, siguiendo hasta cualquier base con la que quisiéramos trabajar.

Cada grupo requiere de símbolos donde se represente la cantidad de unidades de cada subgrupo, partiendo de ninguna unidad hasta el subgrupo de 9 unidades.

Representados de la siguiente forma:

• Ninguna: 0

• Una: 1

• Dos: 2

• Tres: 3

• Cuatro: 4

• Cinco: 5

• Seis: 6

• Siete: 7

• Ocho: 8

• Nueve: 9

De esta representación se derivan los números arábigos usados por todos nosotros hoy en día para cualquier representación numérica.

Cabe resaltar que hay grupos o bases donde se requiere el uno de letras para la representación de sus unidades. Ej.

Base 16:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Seguido de la F la siguiente unidad se presentaría con el símbolo 10 que significaría que 1 es el número completo de unidades en este caso 16 y 0 que no hay unidades adicionales. Si tuviéramos que continuar con el conteo el número a seguir de 10 seria 11 que representaría 1 (16 Unidades completas) y 1 (Una unidad adicional) y así iríamos sucesivamente hasta el número que necesitemos.

Ahora si tomamos como ejemplo el número 11 en Base Decimal se representaría de la siguiente en el resto de bases:

1110 en Base Binaria se representaría así: 1011 que significa 1 (8 Unidades), 0 (Ninguna Unidad), 1 (4 Unidades), 1 (1 Unidad) si sumamos el número de unidades encontraremos que representan 11 unidades en Base10.

1110 en Base Octal se representa así: 13 que significa 1 (8 Unidades) y 3 (3 Unidades Adicionales).

1110 en Base Sexagesimal se representaría así: B que significa según el conteo sexagesimal que hay 11 unidades.

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS NUMEROS

Todo número se puede escribir como un polinomio de la siguiente forma:

AnXn + AnXn-1 + AnXn-2…. AnX1 + AnX0… A(n-2)X(n-1) + A(m-1)X(m-2) + A-mX-m

X es la Base,

N es el número de posiciones hacia el extremo izquierdo la parte entera con exponentes positivos.

M es el número de posiciones hacia la derecha de la parte decimal con exponentes negativos.

Esto significa que si tomamos el número 123,9878 y lo queremos pasar a Base 8 el polinomio quedaría así:

1*82 + 2*81 + 3*80 + 9*8-1 + 8*8-2 + 7*8-3

Paso siguiente tomamos la parte entera y realizamos las operaciones así:

1* 82 = 1*64 = 64

2* 81 = 2*8 = 16

3* 80 = 3*1 = 3

Esto da como resultado 88 la parte entera, después tomamos la parte decimal y realizamos las siguientes operaciones:

9* 8-1 = 9* 0,125 = 1,125000000

8* 8-2 = 8* 0,015624 = 0,125000000

7* 8-3 = 7* 0.001953125 = 0.013671875

Esto da como resultado 1,263671875 luego tomando la parte entera y la parte decimal decimos que tenemos 83,1263671875 que quiere decir que 123,9878 equivale a 83,126367187510.

Esto significa que para convertir un número de base cualquiera a un número base 10 basta con escribir el número como su polinomio equivalente y calcular su equivalente (Tomado literalmente del libro Fundamentos de Lógica para Programación de Computadores).

Cuando se quiera revertir un número en base 10 a cualquier otro número en cualquier base se divide la parte entera entre la base a la que se quiere convertir sucesivamente hasta que el cociente de 0 Ej.

12.3410 se quiere convertir a Base 4.

12/4 = 30

Ahora tomamos la parte decimal y hacemos multiplicaciones con la base a la que se quiere convertir tomando cada resultado decimal anterior y multiplicándolo por la base que este caso seria 4 hasta que de 0 Ej.

0.34*4= 1.36

0.36*4= 1.44

0.44*4= 1.76

0.76*4= 3.04

0.04*4= 0.16

Esto significa que la parte fraccionaria del número 12.3410 es equivalente a 0.1113. Esto quiere decir que el equivalente de 12,3410 es 30,11134.

OPERACIONES ARITMETICAS

Para las operaciones aritméticas en Base 10 es igual para cualquier operación

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