Sistemas Numericos

Sistemas Numéricos

Los sistemas digitales manejan información binaria, es decir, disponen solamente de dos valores para representar cualquier información. Esto hace que los sistemas digitales sean más confiables que los analógicos, ya que es más fácil distinguir entre dos valores que entre una gran cantidad de ellos. Sin embargo, esto implica que si se desea diseñar o entender sistemas digitales, especialmente aquellos que manejan información de tipo numérico es necesario dominar el sistema de numeración binario. En este capítulo se presenta dicho sistema de numeración comenzando con una introducción general sobre sistemas de numeración y haciendo énfasis en los sistemas de numeración binario y hexadecimal, por su aplicación directa a sistemas digitales.

¿Cuál es el significado numérico de la representación acostumbrada para los números? Es decir, por ejemplo ¿qué significa la representación del número N=1998?

Como es sabido, el número anterior significa 1 millar, más 9 centenas, más 9 decenas, más 8 unidades, es decir, N puede escribirse como:

Es decir, en general, un número cualquiera N de n dígitos escrito como

donde los dígitos An-1, ... A1 A0 son alguno de los diez siguientes: 0, 1, 2, ..., 9. También podrá escribirse como:

En este punto es conveniente introducir las siguientes definiciones:

Sistema Numérico. Se llama sistema numérico al conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno de ellos se identifica por su base.

Dígito. Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación de otros y que representa un entero positivo.

Bit. Es un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un 1.

Base de un sistema numérico

La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.

A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente usados que son:

Notación

En adelante, para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos encerraremos entre paréntesis el número y le añadiremos un subíndice, indicando la base que se está usando.

Sin embargo, si no se usa subíndice se deberá entender que el número está en base diez, a menos que se diga lo contrario.

Ejemplos:

35 = (35)10 = 35 base 10 (sistema decimal)

(110100)2 = 110100 base 2 (sistema binario)

(34)16 = 34H = 34 base 16 (sistema hexadecimal)

Notación

En general cualquier número entero consta de Parte entera. Parte Fraccionaria

Cualquier número se puede escribir de dos maneras, mediante la notación yuxtaposicional o simplemente posicional (ecuación 1.1) o la notación polinomial (ecuación 1.2).

Notación posicional

Al escribir un número con esta notación, la posición de cada dígito nos dice su peso relativo. En general, en la base r un número N de n dígitos en la parte entera y m dígitos en la parte fraccionaria en esta notación se escribe:

En esta notación el dígito de más a la izquierda (an-1) es decir, el que “pesa” más se denomina dígito más significativo (MSD), en forma similar al de más a la derecha (a-m), es decir, el que “pesa” menos se le llama dígito menos significativo (LSD)

Notación polinominal

En general cualquier número N puede ser escrito como un polinomio en potencias de la base. Así, la notación polinomial para el número expresado por (1.3) será

Ejemplo:

SISTEMAS OCTAL Y HEXADECIMAL

Como se puede observar del caso de conversión descrito en la sección anterior, el sistema octal (base 8) y hexadecimal (base 16) pueden ser considerados como “binario abreviado”, en el sentido de que la conversión de éstos a binario y viceversa es prácticamente inmediata a simple vista, es por ello que estos sistemas tradicionalmente han sido utilizados para representar de manera compacta información binaria en los sistemas digitales.

Obsérvese que para realizar la conversión octal-binario o hexadecimal-binario, basta tener presente la conversión de los 8 dígitos del octal o de los 16 dígitos del hexadecimal:

SISTEMA BINARIO

El sistema binario (r=2) requiere únicamente dos dígitos, 0 y 1. Este sistema es ideal para uso en sistemas digitales, ya que éstos están construidos de dispositivos de dos estados (relevadores, transistores, etc.).

Notación: Se acostumbra representar los dígitos binarios (bits) de diversas maneras, dependiendo del contexto, por ejemplo:

1= encendido = ON = alto = H

0= apagado = OFF = bajo = L

Cuando se conectan varios dispositivos que pueden almacenar cada uno de ellos un bit, al arreglo así formado se le llama registro, de esta manera, diferentes combinaciones de valores de los bits guardados en un registro se pueden interpretar como un número binario. Así, un registro de 8 bits se representará como sigue:

Dependiendo de la longitud (medida en número de bits) del registro, este se denomina de acuerdo a la siguiente tabla:

El uso del término “palabra” es más genérico y algunos autores hablan de palabras de 8, 16, de 32 bits, etc.

CONVERSIONES DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

El problema general de convertir un número de su representación en base r a la correspondiente en base q se puede resolver en un sólo paso si se maneja aritmética de base r o de base q, sin embargo, si se quiere usar en el proceso solamente aritmética de base 10 debemos plantearlo en dos etapas como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1 Conversión de base r a base q usando aritmética de base 10

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO

Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el número 42 a número binario

1. Dividimos el número 42 entre 2

2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1.

3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos

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