Trabajo Final Introduccion A La Programacion

1) ∫▒(x^3+x-2)/x^2

Ampliamos la fracción

∫▒x^3/x^2 dx+∫▒〖x/x^2 dx-∫▒2/x^2 〗 dx

Simplificamos

∫▒x dx+∫▒〖1/x dx-2∫▒1/x^2 〗 dx

∫▒〖x dx〗+∫▒〖x^(-1) dx-2∫▒〖x^(-2) dx〗〗

x^2/2+ln⁡x-2 x^(-1)/(-1)+C

x^2/2+ln⁡|x|+2/x+C

Simplificamos la respuesta:

=(x^3+4)/2x+ln⁡|x|+C

2)∫▒(〖sec〗^2 x)/√(tan⁡x ) dx

=∫▒〖〖sec〗^2 x*〖tan〗^((-1)/2) x dx〗

=∫▒〖〖(tan〗⁡x)〗^((-1)/2) 〖sec〗^2 x dx=∫▒〖[g(x)]^((-1)/2) g^' (x)dx〗

=g(x)/(1/2)+C=2√(tan⁡x )+C

3) ∫▒〖(1+3x)〗^2/√(3&x)dx

Primero que todo resolvemos el binomio al cuadrado:

∫▒((1^2+2*1*3x+〖(3x)〗^2))/∛x dx

∫▒〖((1+6x+〖9x〗^2))/∛x dx〗

∫▒((1+6x+〖9x〗^2))/x^(1⁄3) dx

Aplicamos la siguiente propiedad:

((a+b))/c= a/c+b/c

∫▒〖(1/x^(1⁄3) 〗+6x/x^(1⁄3) +(9x^2)/x^(1⁄3) )dx = ∫▒〖(x^(-1⁄3)+6x^(2⁄(3 )) 〗 +9x^(5⁄3))dx

Por propiedad de suma de integral de funciones, las podemos separar:

∫▒x^(-1⁄3) 〖dx∫▒〖x^(2⁄(3 )) dx〗 〗^ +9∫▒x^(5⁄3) dx

Resolvemos cada una de las integrales inmediatas de la forma:

∫▒x^n dx =x^(n+1)/(n+1)+C

= x^(2⁄3)/(2⁄3)+〖6x〗^(5⁄3)/(5⁄3)+ (9x^(8⁄3))/(8⁄3)+C

Organizando términos:

= (3x^(2⁄3))/2+(18x^(5⁄3))/5+ (27x^(8⁄3))/8+C

4) ∫▒〖〖Tan〗^3 x dx 〗

∫▒〖〖tan〗^2 xtan〗⁡x dx= ∫▒(〖sec〗^2 x-1) tan⁡〖x dx〗

=∫▒〖〖sec〗^2 x〗 tan⁡〖x-tan⁡〖x dx〗 〗

=∫▒〖〖sec〗^2 x〗 tan⁡〖xdx-∫▒tan⁡〖x dx〗 〗

Decimos entonces que:

U=tan⁡x

du=sec⁡xdx

=∫▒〖Udu-∫▒tan⁡〖x dx〗 〗

=U^2/2+ln⁡|cos⁡x |⁡〖+C〗

Reemplazamos

=(〖tan〗^2 x)/2-ln⁡|cos⁡x |+C

5) ∫▒√(2+9√(3&x)) /√(3&x^2 )

Decimos que:

u=2+9x^(1/3)

du/dx=3/x^(2/3)

du/3=dx/x^(2/3)

Reescribimos la integral

∫▒u^(1/2) *du/3= 1/3*u^(3/2)/(3/2)+C= 2/9 u^(3/2)

Reemplazamos el valor de u

2/9 (2+9∛x)^(3/2)

6) ∫▒〖x/√(3-x^4 ) dx〗

〖 x〗^4=3 sen^2⁡ϑ

Solución: se hace la sustitución trigonométrica x^2=√3 sen ϑ

Entonces 2xdx=√3 cos⁡〖ϑ dϑ →〗 xdx=√3/2 cos⁡〖ϑ dϑ que se remplaza en la integral〗

∫▒〖x/√(3-x^4 ) dx = ∫▒√(3/2

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