Transformada De Fourier Y Representaciones De La Función ∂(t)

FUNDAMENTO TEORICO

DELTA DE DIRAC

La delta de Dirac es una distribución (función generalizada) introducida por el físico inglés Paul Dirac. Se escribe como:

Siendo para el caso

En ocasiones se denomina también función de impulso. La delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas, concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón.

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0, tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

Delta de Dirac es una "función generalizada" que viene definida por la siguiente fórmula integral:

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergiría hacia infinito de ahí la "definición convencional" dada por:

Transformada de Fourier

t: Tiempo

f: Frecuencia en Hz

x(t): Señal de prueba

e−j2_ft: Fasor de Sondeo

X(f): Espectro en funci´on de la frecuencia f

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio frecuencial» una señal para así obtener información que no es evidente en el «dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de señales trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes:

La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y el oído humano se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz.

Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.

La transformada de fourier también es utilizada en el àmbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Procedimiento

1.- Graficar el espectro de la señal no periódica de la figura 1.

2.- Graficar las representaciones de las siguientes funciones

Pulso de Gauss

lim┬(T→0)⁡〖1/T e^(-(πt^2)/T) 〗

T= 5, 1, 0.01

t= -2:0.001:2

Pulso Exponencial

lim┬(T→0)⁡〖1/2T e^(-|t|/T) 〗

T < t

Pulso triangular

〖〖lim⁡ 〗┬(T→0) 〗⁡〖 1/( T) [1-|t|/T], para |t| 〗<T

0 para |t|>T

T= 5 -5≤t≤5

T= 2 -2≤t≤2

T= 0.01 -0.01≤t≤0.01

Función muestra

lim┬(k→0)⁡〖k/π sa(kt)〗

k= 5 -2≤t≤2

k= 10 -2≤t≤2

k=

...