ALGEBRA LINEAL UNDAD 4

UNIDAD 4

ESPACIOS VECTORIALES.

4.1 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemasde Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

4.2 DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Definición: Subespacio.

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector K, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

0

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

• 0 ∈ S . K

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

4.3 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es unacombinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esosvectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo:

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y .

Escribir como combinación lineal de y , siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ••• = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

= (2, 3, 1), = (1, 0, 1), = (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

Base

Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

Esta base formada por los vectores

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