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DETERMINANTES

DEFINICION: El determinante de una matriz de orden NxN, es un escalar (o número) que se denotan por: det(a) ó .

CALCULO DE DETERMINANTE:

1: Para matrices de 1x1: Una matriz de orden 1x1 puede ser tratada como un escalar.

Es decir: si entonces el determinante de “A” se define como:

EJEMPLO.- Calcular el determinante de la siguiente Matriz .

SOLUCIÓN:

det(A) = 3

2: Para matrices de 2x2: El determinante de una matriz de 2x2, se define como el producto de los elementos de la diagonal principal, menos la diagonal secundaria.

Es decir si: ; entonces el determinante de “A”, se define como:

EJEMPLO.- Calcular el determinante de la siguiente matriz:

;

SOLUCIÓN:

3: Para matrices de 3x3: Existen varios métodos para calcular el determinante de un matriz cuadrada, entre ellas tenemos:

 Método de Sarrus

 Método de Cofactores (La Place)

 Método de Chios (Combinación de métodos)

 Método de Gauss (forma triangular)

Antes de estudiar los métodos identificaremos algunos teoremas de cálculo de determinantes que son:

TEOREMA # 1: Si el determinante de una matriz es igual a cero, entonces dicha matriz es no invertible y se la denomina matriz singular.

TEOREMA # 2: Si el determinante de una matriz es distinto a cero, entonces dicha matriz es invertible y se lama matriz no singular.

TEOREMA # 3: Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada son iguales a cero, entonces el determinante de dicha matriz es cero.

EJEMPLO: Calcular el determinante de las siguientes matrices:

Si

SOLUCIÓN:

TEOREMA # 4: Si todos los elementos de una fila o columna son iguales o múltiplos de otra fila o columna de una matriz cuadrada, entonces el determinante de dicha matriz es cero.

EJEMPLO: Calcular el determinante de las siguientes matrices:

Si y

SOLUCIÓN:

TEOREMA # 5: Si una matriz cuadrada se encuentra en la forma triangular superior o inferior, entonces el determinante de dicha matriz es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

EJEMPLO: Calcular el determinante de la siguiente matriz:

Si y

SOLUCIÓN:

TEOREMA # 6: Si “B” es una matriz que se obtiene al intercambiar dos filas o dos columnas en la matriz “A”, entonces el determinante de la matriz “A” cambia de signo (Primera Operación elemental).

Demostración: Verificar que tipo de cambio se producen cuando se aplica una permutación.

Si nosotros tenemos una matriz A de orden 2x2:

Ahora intercambiemos sus filas y obtendremos una matriz “B” que es:

Entonces si calculamos sus determinantes de “A” y “B”:

Entonces de

Entonces:

Por lo tanto, si cambiamos dos filas o columnas, entonces el resultado es que estamos cambiando el signo del determinante y esto se puede extender para cualquier matriz de NxN.

EJEMPLO: Mediante un ejemplo demuestre el uso del teorema 6:

Si

SOLUCIÓN:

TEOREMA # 7: Si B es una matriz que se obtiene al multiplicar un escalar k distinto de 0, a una fila ó columna en la matriz “A”; entonces el determinante de la matriz “A” queda multiplicado por dicho escalar (Segunda Operación elemental).

Demostración: Verificar que tipo de cambio se producen cuando se aplica una multiplicación por un escalar.

Si nosotros tenemos una matriz A de orden 2x2

Ahora multipliquemos la fila número 1 por k, obtendremos una matriz “B” que es:

Entonces si calculamos sus determinantes de “A” y “B”:

Entonces:

EJEMPLO: Mediante un ejemplo demuestre el uso del teorema 7:

Si

SOLUCIÓN:

TEOREMA # 8: Si “B” es una matriz que se obtiene de multiplicar un escalar k distinto de 0, a una fila o columna en la matriz “A” y sumar a otra fila o columna, entonces el determinante de dicha matriz no varía. (Tercera Operación elemental).

Demostración: Verificar que no produce ningún cambio en el determinante, cuando se aplica la tercera operación elemental (adición).

Si nosotros tenemos una matriz A de orden 2x2

Aplicando adición a la fila 2, la fila 1 multiplicado por k, obtendremos una matriz “B” que es:

Entonces si calculamos sus determinantes de “A” y “B”:

Entonces:

EJEMPLO: Mediante un ejemplo demuestre el uso del teorema 8:

Si

SOLUCIÓN:

METODO DE SARRUS: Permite calcular el determinante solo para matrices de 3x3, de una manera rápida. Existen 2 formas de explicar:

1ra FORMA: Consiste en colocar

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