Análisis Exploratorio de Datos Grado en Estad ́ıstica y Empresa

Análisis Exploratorio de Datos Grado en Estad ́ıstica y Empresa - 2012/2013

1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.

El sumatorio (o sumatoria) es un operador matemático, representado por la letra griega sigma mayúscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un número indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos. Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x,y,z,...) cuyos valores dependen de un  ́ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El  ́ındice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. As ́ı por ejemplo,

3∑

i=1

x

i

= x

1

+ x

2

+ x

3

representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general,

n∑

i=1

x

i

= x

1

+ x

2

+ ... + x

n−1

+ x

n

representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresión anterior se lee: “sumatorio de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.

El  ́ındice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de números enteros, es decir, no tiene por- qué empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuación casi siempre sea as ́ı para simplificar la notación). La única condición que se tiene que cumplir es que el primer valor del  ́ındice, el que en la mayor aparece suma que n, ∑

por n i=k abajo, x

ejemplo, i

sea menor o igual que el último valor del  ́ındice, el que aparece arriba. Es decir, k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera k =5y n = 3, estar ́ıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a 3, es de x decir, no estar ́ıamos desde 3 hasta 5, sumando nada, y la suma ser ́ıa deberemos tomar n =5y k = 3, es igual decir, a hacer

cero. ∑

Si 5

i=3

queremos x

i

.

sumar los valores

1.1. Propiedades.

El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple todas las propiedades de ésta:

Propiedad conmutativa:

n∑

i=1

Propiedad asociativa:

n∑

i=1

+ ... + z

n

= x

1

(x

i

+ y

i

) +

+x

2

+ ...+ x

n

+ y

1

+z

1

+ y

2

+ z

2

+...+ y

n

+z

n

=

n∑

x

i

+

n∑

(y

i

+ z

i

) =

n∑

(x

i i=1

i=1

i=1

+ y

n

= y

1

+ x

1

+ y

2

+ x

2

+ ... + y

n

+ x

n

=

n∑

(y

i

+ x

i i=1

n∑

i=1

(x

i

z

i

= x

1

+ y

i

) = x

1

+ y

1

+ x

2

+ y

1

+ y

2

+ x

2

+ ... + x

n

+ y

2

+ ... + x

n

+ y

n

+ z

1

+ z

2

)

+y

i

) +z

i

1

Análisis Exploratorio de Datos Grado en Estad ́ıstica y Empresa - 2012/2013

Otras propiedades:

1. El sumatorio de una constante (no depende de ningún  ́ındice) es igual a la constante mul-

tiplicada por el número de sumandos:

n∑

i=1

b + b n + veces

... + b= nb, b ∈ R

2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):

n∑

i=1

b =

(ax

i

+ b) =

n∑

ax

i

+

n∑

b = a

n∑

x

i

+ nb, a, b ∈ R

i=1

i=1

i=1

Nota: ¡¡¡a · indicados por ∑ el n

i=1

primer x i

+ nb s ́ımbolo = a después ·

∑

n i=1

(x

de i

+ nb)!!! En un Σ. Si cada sumando sumatorio, los sumandos vienen involucra más de un término, tendremos que escribir la expresión del sumando entre paréntesis. Por ejemplo:

3∑

i=1

i2 +5=12 + 22 + 32 +5=1+4+9+5=19,

mientras que

3∑

i=1

(i

2

+5)=1

2

+5+2

2

+5+3

2

+5=1+5+4+5+9+5=29.

...