Apuntes de Álgebra Unidad 1.

UNIDAD 1

Lenguaje algebraico

Álgebra es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Para lograr esa generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar cualquier valor posible.

Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.

        Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

        Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o         desconocidas.

Los signos empleados en álgebra son de tres clases:

        de operación:         suma , resta , multiplicación ,                                 división  , potencia , raíz .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

        de relación:         igual , mayor que , menor que .[pic 7][pic 8][pic 9]

        de agrupación:         [pic 10]

Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico de una o más operaciones algebraicas.

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Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo  o .[pic 12][pic 13]

Es aquella expresión algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo  ni por el signo .[pic 14][pic 15]

El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. (Convención: si no hay número en el exponente es )[pic 16]

        Absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales.

        Por ejemplo: el grado absoluto de  es .[pic 17][pic 18]

        Con relación a una letra: es el exponente de dicha letra.

        Por ejemplo: el grado con relación a la variable  de  es .[pic 19][pic 20][pic 21]

NOTA: cualquier constante tiene grado cero, por ejemplo:  tiene grado cero pues se puede escribir como .[pic 22][pic 23]

Expresiones algebraicas polinomiales y su clasificación

Monomio: es una expresión algebraica que consta de un sólo término.

[pic 24]

Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término.

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        Binomio: es un polinomio que consta de dos términos.

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        Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos.

[pic 27]

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un polinomio: es el grado de su término de mayor grado absoluto.

Por ejemplo:         el polinomio  tiene grado absoluto  o es de sexto grado.[pic 28][pic 29]

                el polinomio  tiene grado absoluto  o es de octavo grado.[pic 30][pic 31]

Grado con relación a una letra de un polinomio: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Por ejemplo:         el polinomio   tiene grado  con relación a letra  y tiene                         grado  con relación a letra .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra elegida queden en orden descendente de preferencia.

Por ejemplo: ordenar el polinomio  en orden descendente con relación a la letra  será escribir .[pic 37][pic 38][pic 39]

Símbolos de agrupación y jerarquización

Dada una expresión algebraica con símbolos de agrupación, la manera en la que procederemos es la misma que en la aritmética, es decir, primero efectuaremos las operaciones dentro de los paréntesis, seguido de los corchetes y finalmente las llaves.

En cuanto a las operaciones algebraicas, primeramente se efectuarán potencias y raíces, luego multiplicación y división, y finalmente suma y resta.

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad.

Aquí cabe resaltar la importancia de los signos  y  que precedan a cualquier símbolo de agrupación. Por ejemplo:[pic 40][pic 41]

        Símbolo de agrupación precedido por [pic 43][pic 42]

[pic 44]

[pic 45]

        Símbolo de agrupación precedido por [pic 47][pic 46]

[pic 48]

[pic 49]

Ejercicios sobre notación algebraica

• Escríbase la suma del cuadrado de  con el cubo de .[pic 50][pic 51]
• Un hombre tenía  pesos; luego recibió  pesos y después pagó una cuenta de  pesos. ¿Cuánto le queda?[pic 52][pic 53][pic 54]
• Compré tres libros a  pesos cada uno; seis sombreros a  pesos cada uno y  trajes a  pesos cada uno. ¿Cuánto he gastado? [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]
• Compro  libros iguales por  pesos. ¿Cuánto me ha costado cada uno?[pic 59][pic 60]
• Tenía 9 pesos y gasté  pesos. ¿Cuánto me queda?[pic 61]

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Algoritmos de las operaciones algebraicas

Términos semejantes: dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

Ejemplo: [pic 62]

SUMA

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reducir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).

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