Calculo Integral CNCI Virtual

ACTIVIDAD 2

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Introducción:

Este trabajo se abordará el caso de Bernhard Riemann. Murió antes de los 40 años, pero hizo grandes aportes en diferentes áreas de las matemáticas, por ejemplo, estudio la función de las variables y la geometría analizando la negación de la quinta hipótesis de Euclides, además de la famosa integral que lleva su nombre en cálculo. También trabajo en el campo de la física, como la dinámica de fluidos, el magnetismo y la teoría de los gases. Y en ese ensayo más que ver su vida con detalle analizaremos diferentes puntos de su investigación en el cálculo integral.

1. Problemas que originaron el cálculo integral

El principal conflicto que se ha estado intentando resolver desde la antigüedad es el cálculo del área. No solo las figuras geométricas conocidas, sino también cualquier otra figura. Las primeras personas que estudiaron esta cuestión fueron los egipcios y babilonios que supieron calcular al aplicar una fórmula, el área de una figura simple (como un cuadrado o un triángulo), pero el círculo y otros gráficos delimitados por curvas son difíciles de lograr.

Cuando tienes una curva que delimita el área, incluso si usas se sabe que cuadrado, rectángulo, triángulo o encierra en un círculo, es imposible obtener este resultado de forma sencilla. Es Arquímedes, gran matemático griego quien propuso que el área de un círculo está relacionada con El polígono dentro del círculo y cuantos más lados del polígono.

El siglo XVIII produjo un gran desarrollo de métodos a partir del siglo XVII. Sin introducción Sin nuevos conceptos, el conocimiento de todas las ramas aumenta considerablemente. tal como se mencionó anteriormente, los matemáticos de fines del siglo XVIII se dieron cuenta la demostración careció de rigor y la explicación conceptual fue vaga. de a demostración es una mezcla de pruebas formales que combinan consideraciones geométricas y físicas. Sobre el problema. Por lo tanto, muchas demostraciones de los resultados no se llevaron a cabo y con el tiempo este resultado prueba que, si haces un área pequeña en una figura geométrica, siempre que la división se haga cada vez más pequeña, puedes obtener un valor casi exacto, es decir, en el caso de un círculo poligonal. En cálculo e integrales, la base de utilizar más aproximaciones y tamaños más pequeños es una de las bases más utilizadas y está estrechamente relacionada con el concepto de suma. Por otro lado, el área también se puede estimar por integración definida, lo que permite resolver el problema de conocer el valor espacial del área definida por la curva superior.

1. Principios de la integral de Riemann

Riemann publicó su libro "Ueber die Darstellbarkeieiner Functiondurcheine trigonometrische Reihe" en 1854 Titulado como profesor asistente en la Universidad de Göttingen. Consta del primer concepto de integral de Riemann y comience una teoría de funciones de variables reales y este tipo de integral se define como la suma finita del área de un rectángulo. Estos se definen en base a una partición de un intervalo [a, b] donde se quiere calcular la integral, como altura de los rectángulos hay varias opciones, el máximo o mínimo de la función en el subintervalo o cogiendo el valor de la función en los extremos de este. Entonces la integral S es igual a esta suma, si para cualquier partición con subintervalos más pequeños que  se cumple que S − Es decir al aumentar el número de rectángulos la suma de sus áreas aproxima mejor el ´ área de la integral.[pic 3][pic 4]

Es importante entender que la forma de sumar es considerar el rectángulo debajo de la curva. Esto significa que el área obtenida es siempre menor y de manera similar, se pueden realizar cálculos donde el rectángulo sobresale de la curva, en cuyo caso el área aproximada será mayor. Cada gráfico denominado r1, r2, ..., rn es parte de la suma de multiplicar la función por el incremento x: f (x1) Δx. De esta manera, el área a través de la suma se puede calcular desde la izquierda o la derecha.

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Ilustración 1: Ejmplo de la sumatoria

1. La integral de Riemann y la tecnología

La integral de Riemann es muy importante para la tecnología, porque en el pasado, las computadoras, calculadoras y otros dispositivos (como procesadores de computadora o teléfonos móviles) solo podían resolver operaciones básicas, como sumas y restas. Posteriormente se desarrolló el método de Riemann, que básicamente representa la suma con la programación de software.

Al agregar un número limitado de rectángulos a la suma de Riemann para aproximar el área bajo la curva de función, se pueden obtener resultados muy precisos. Intuitivamente, sabemos que cuantos más subintervalos, mejores son los resultados.

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