Calculo Integral Ejemplos

UNIDAD II INTEGRALES INDEFINIDAS

COMPETENCIA ESPECIFICA A DESARROLLAR: Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándola.

Determinar una función primitiva.

CALCULO INTEGRAL

De la misma manera que se ha dicho que la resta es la operación inversa de la suma, la división de la multiplicación, etc., afirmaremos que la integración es la operación inversa de la diferenciación de una función, esto es, que si la derivada de una función F(x) es f (x), entonces la integración consistirá en encontrar la función F(x) cuando se conoce su derivada f (x). Esta operación se indicará escribiendo el símbolo integral delante de la expresión diferencial dada, entonces: .

En este caso a F(x) se le llama función primitiva de f (x) en un cierto intervalo ( finito o no ) , o bien, integral indefinida de f (x).

2.1 Definición de función primitiva.

Sabemos que la derivada de . Pues bien, es una función primitiva de .

Como la derivada de , sen x es una función primitiva de cos x.

De una manera general, una función primitiva de una función f (x) es otra función F(x) cuya derivada es f (x) y cuya diferencial es, por lo tanto, f(x)dx.

¿ Cuántas funciones primitivas tiene 2x ?. Desde luego hemos visto que una de ellas es , pero otra es ; otra ; etcétera, es decir, todas las que resultan de añadir una constante a la función . En efecto:

Si resulta también .

Una función f (x) tiene infinitas funciones primitivas, pero dos cualesquiera de ellas, difieren en una constante.

2.2 Definición de integral indefinida.

Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f (x) se le llama integral indefinida de f(x)dx.

Para representar la integral indefinida se usa el signo que tiene su origen en la inicial de la palabra suma.

Ejemplos

1.- La integral indefinida de f(x)dx se representa así:

Si F(x) es una función primitiva de f (x), por definición tenemos:

A la expresión f (x) se le llama integrando y a la constante C constante de integración.

2.- Como una función primitiva de podemos escribir

.

2.3 Propiedades de la integral indefinida.

Aplicando la prueba de la integración y recordando las propiedades de la derivación resulta:

1.- La integral de una suma de un número finito de funciones es igual a la suma de las integrales.

Así:

2.- La integral de una diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las integrales.

Así:

3.- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Así:

INTEGRAL DE UN TÉRMINO.

La primera regla que se debe aplicar al integrar la diferencial de una función cuyo coeficiente es la constante "a" es: .

Si ya se aplicó ésta, enseguida puede aplicarse alguna de las siguientes:

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

CASOS ESPECIALES:

Si la expresión que se desea integrar es una función cuyo numerador es la derivada del denominador, entonces la integral es igual al logaritmo natural del denominador:

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

En el caso de que el numerador no sea precisamente la derivada del denominador, ya sea por que le falta la constante o bien porque no es la correcta, deberá de completarse, solo que esa misma cantidad que se agrega dentro de la integral como factor deberá agregarse también como factor fuera de la integral pero en forma recíproca para que no se altere la expresión original.

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

ENCONTRARA LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE UN POLINOMIO.

La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de cada una de esas expresiones, por lo tanto:

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

CASOS ESPECIALES:

Cuando se desea integrar un polinomio que está afectado por cierta operación indicada, primero se realiza dicha operación, enseguida se integra el polinomio resultante.

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

ENCONTRAR LA INTEGRAL DADA LA POTENCIA DE UNA FUNCION DIFERENCIAL.

La integral de la potencia de una función diferencial se obtiene aplicando:

Debe hacerse notar que la potencia deberá estar multiplicada por la derivada de la variable.

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

CASOS ESPECIALES:

Cuando la integral de una potencia le falta la constante o la diferencial de la variable o no es la correcta, deberá de completarse agregando como factor dentro de la integral la constante que haga falta, pero para que no se altere la expresión original, se agregará la misma cantidad como factor fuera de la integral pero de forma recíproca.

EJEMPLOS RESUELTOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

ENCONTRARA LA INTEGRAL DADA LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION EXPONENCIAL.

Una función exponencial es una potencia cuyo exponente es variable. En el presente curso nos referimos a dos tipos de funciones.

a) Cuando la base es constante y el exponente es variable. Se expresa de manera general y su integral queda definida por la expresión:

b)

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