Cinematica Y Algo Mas

Movimiento en dos dimensiones

1.2.3.4.5.6. en la de tema 4 cinematica

Alcance máximo en el plano horizontal

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ

vy=v0·sinθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t

y= h+v0·sinθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.

T=v0g(sinθ+√sin2θ+2z)  z=ghv20

El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.

R=v20g(sinθ+√sin2θ+2z)cosθ  z=ghv20

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.

La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es

vy=v0sinθ−gT=−v0√sin2θ+2z

La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es

vf=√v2x+v2y=v0√1+2ztanϕ=vyvx=−√sin2θ+2zcosθ

El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.

12mv20+mgh=12mv2f

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

(cosθ+2sinθcosθ2√sin2θ+2z)cosθ−(sinθ+√sin2θ+2z)sinθ=0(cos2θ−sin2θ)(sinθ+√sin2θ+2z)=2zsinθ√sin2θ+2z=2zsinθcos(2θ)−sinθ

Elevamos al cuadrado y simplificamos

(1−2·sin2θ)2=2z·sin2θ−2·sin2θ(1−2·sin2θ)

cos2θ=1+2z2+2z  sin2θ=12+2z

El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale

tanθm=1√1+2z=v0√v20+2gh

Sustituyendo cosθ y sinθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones

Rm=v20g√1+2z=v0g√v20+2gh

Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es

Rm=v20g·tanθm

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

Rm=v20g·tanθm

llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo

Rm=h·tan(2θm)

El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm

Tm=v0g√2+2z=√2(v20+2gh)g

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

y=xtanθ−gx22v20(1+tan2θ)

En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ

gR22v20tan2θ−R·tanθ+(gR22v20−h)=0

con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.

Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo

R m 2 −4 g R m 2 2 v 0 2 ( g R m 2 2 v 0 2 −h )=0   R m = v 0 g 2gh+ v 0 2

El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.

Velocidad final y velocidad inicial

La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son

v f = v 0 1+2z tan⁡ ϕ m =− sin 2 θ+2z cos⁡θ =− 1+2z

La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es

tan⁡ ϕ m =− 1 tan⁡ θ m    θ m = ϕ m + π 2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,

Ejemplo:

• La velocidad de disparo v0=60 m/s,

• La altura inicial del proyectil h=200 m

• El ángulo de tiro θ=30º.

El alcance R es

z= 9.8·200 60 2 =0.54  R= 60 2 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 )cos⁡30º=527.2 m

El tiempo T de vuelo del proyectil es

T= 60 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 ) =10.1 s

• El alcance máximo (véase la última figura) se obtiene para el ángulo

tan⁡ θ m = 1 1+2·0.54    θ m =34.7º

El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son, respectivamente

R m = 60 2 9.8 1+2·0.54 =530.9   m T m = 60 9.8 2+2·0.54 =10.8   s

• Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=450 m.

Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

9.8· 450 2 2· 60 2 tan⁡ 2 θ−450·tan⁡θ+( 9.8· 450 2 2· 60 2 −200 )=0

θ1=10.8º, θ2=55.3º, Como vemos θ1<θm<θ2

Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal.

Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale

Rm=h·tan(2θm) θm=42.3º

El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·sinθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)

Actividades

Se introduce

• La altura h desde la que se dispara el proyectil, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura.

• El ángulo de tiro θ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo, o bien, introduciendo el valor del ángulo en el control de edición correspondiente.

• La velocidad de disparo

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