Conjunto Potencia

Conjunto potencia

No debe confundirse con Potencia de un conjunto.

En matemáticas, dado un conjunto S, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2S) al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de S.

En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.

Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada álgebra booleana infinita es subálgebra de una álgebra booleana de partes

Cardinalidad del conjunto potencia

Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S entonces su conjunto potencia contiene |P(S)| = 2n elementos, es decir, su cardinalidad es una potencia de dos. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia o ausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2n tales números. Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales:

La cardinalidad de un conjunto potencia siempre es mayor que la cardinalidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantordemuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que n < 2n la prueba para conjuntos finitos. El conjunto potencia de los números naturales, por ejemplo, se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece primero una biyección entre los números reales y el intervalo cerrado [0,1], para luego, usando la expansión diádica de los números reales, identificar cada elemento de [0,1] con la sucesión infinita de ceros y unos dada por los coeficientes.

Teorema de Cantor

Un importante resultado sobre el conjunto potencia es el teorema de Cantor que establece que no existe biyección entre el conjunto potencia de un cierto conjunto y el propio conjunto. Es decir, con respecto a su cardinalidad el conjunto potencia tiene más elementos que el propio conjunto. Si bien esto es trivial para conjuntos finitos, tiene importantes consecuencias para conjuntos infinitos. El teorema de Cantor por tanto permite construir una

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