Continuidad Y Discontinuidad

Continuidad y Discontinuidad

Continuidad

Una de las propiedades mas importante de la mayoría de las funciones que modelan comportamiento del mundo real. Desde el punto de vista grafico una función es continua en un punto si la grafica no se separa en ese punto.

En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.

La definición matemática de continuidad comprende las propiedades de los límites.

De la definición de continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida (es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.

Propiedades de las funciones continuas

Dadas las funciones f y g continuas en x = a, se verifica que:

la función (f + g) (x) = f(x) + g(x) es continua en x = a.

la función (f - g) (x) = f(x) - g(x) es continua en x = a.

la función (f × g) (x) = f(x) × g(x) es continua en x = a.

la función (f / g) (x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.

Estas propiedades son consecuencia directa de las propiedades de los límites.

Ejemplo:

y=x

Discontinuidad

Con respecto a lo anterior podemos decir que una función es discontinua cuando, una función f definida en un intervalo abierto que contenga a ɑ es discontinua en ɑ si:

f no tiene limite cuando x —> ɑ

cuando x —> ɑ, f tiene un límite diferente de f(ɑ)

si f no está definida en ɑ, no es continua allí. Sin embargo, si f no está definida en ɑ pero si está definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en ɑ, es discontinua allí.

Tipos de discontinuidades de una función

Si f no es continua en un punto xo se dice que es discontinua en dicho punto. Esto puede

producirse por varias causas, dando lugar a distintos tipos de discontinuidades que se enumeran a continuación.

• Discontinuidad evitable: si existe . En este caso, al ser discontinua o bien , o bien .

Este tipo de discontinuidad permite redefinir la función de forma continua de la manera siguiente:

• Discontinuidad no evitable, si no existe . Esta situación se puede producir las siguientes razones.

- existe pero son distintos.


-existe .

-no existe .

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