Continuidad Y Discontinuidad

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir:

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.

2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)

3. Los dos valores anteriores coinciden.

Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres condiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es discontinua en dicho punto. En caso de que no se cumpla la segunda condición, la función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.

CONTINUIDAD LATERAL.

Si nos restringimos a los valores que la función toma a la derecha o a la izquierda del punto x = a, se habla entonces de continuidad lateral a la derecha o a la izquierda del punto a.

Continuidad a la izquierda:

La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

Continuidad a la derecha:

La función f (x) es continua a la derecha en el punto x = a cuando el límite a la derecha en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, entonces es continua en dicho punto.

CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD EN UN PUNTO.

1. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en dicho punto.

Esta propiedad es consecuencia directa de la definición de la continuidad.

2. Continuidad y acotación.

Si una función es continua en un punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada.

1. Continuidad y signo de una función.

Si f es continua en un punto x = a y f(a)  0, entonces existe un entorno de x = a en el cual los valores de f tienen el mismo signo que f(a).

2. Continuidad y anulación de una función.

Si una función es continua en un punto x = a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico de x = a, la función se anula en él.

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