Control optimo ejercicios resueltos.

CONTROL ÓPTIMO

TRABAJO COLABORATIVO

FASE 1 – RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

JHONNY LÓPEZ ALCALÁ

1047366493

LUIS FERNANDO HERNANDEZ NARVAEZ

1120368727

DIANA CAROLINA GONZALES

ANDRÉS ORLANDO PÁEZ

Tutor

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CARTAGENA

2016

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se aplican los conocimientos aprendidos en la unidad número 1 del curso metodológico CONTROL ÓPTIMO. Ofertado por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD. Veremos principalmente los métodos de optimización de funciones como son el de la sección aurea, interpolación cuadrática y el método de Newton. Para la aplicación de estos métodos es necesario conocer el intervalo inicial  donde está contenido el óptimo de la función objetivo, y asegurar la unimodalidad de la función en el intervalo en estudio.  

También se conocerá y aplicara el método de ascenso de máxima inclinación con la finalidad de localizar el máximo de una función determinada, conociendo previamente  los valores iníciales del intervalo de evaluación. Se empleará además el concepto de bisección, con esta herramienta o aplicación matemática se debe encontrar el tamaño óptimo de paso en la dirección de búsqueda del gradiente.  

OBJETIVOS

·Conceptualizar los métodos para la optimización de funciones, conociendo el intervalo inicial y de esta forma asegurar la unimodalidad de la función en el intervalo en estudio. 

·Aplicar el método de ascenso de máxima inclinación, por medio de los valores iniciales del intervalo de evaluación, con el fin de localizar el máximo de una función determinada.

·Emplear el concepto de bisección, como herramienta de aplicación matemática encontrando el tamaño óptimo en la dirección de búsqueda del gradiente

ACTIVIDADES

1. Leer de la página 363 a la 375 del texto de Steven Chapra que se encuentra en el entorno del conocimiento.
2. Dada la función

[pic 2]

Resolver los siguientes problemas:

1. Encuentre el valor de  x que maximiza f(x), utilizando la búsqueda de la sección dorada. Emplee valores iníciales de xl = 0 y xu = 2 y realice tres iteraciones.

R/  Primero que todo graficamos la función para visualizar la forma de esta.

[pic 3]

Sección de dorada para primera iteración:

[pic 4]

Creamos los puntos interiores

[pic 5]

[pic 6]

Evaluando estos puntos en la función objetivo

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Podemos ver que    f(x2) > f(x1), entonces nuestro máximo está en el intervalo comprendido por xl, x2 y x1.

Ahora para la segunda iteración tenemos que xl = 0, xu = 1.236, x1 = 0.764 y de esta manera obtenemos nuestra nueva sección dorada y nuestro nuevo x2:

[pic 10]

[pic 11]

Entonces

[pic 12]

[pic 13]

En esta ocasión vemos que f(x1) > f(x2), ahora  nuestro máximo está en el intervalo comprendido por x2, x1, y xu.

Realizando el mismo procedimiento encontramos los valores de la tercera interacción demostrando que el valor óptimo converge cada vez más a 8.697 en 0.920.

1. Encuentre el valor de x que maximiza f(x), utilizando interpolación cuadrática. Emplee valores iníciales de x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2 y realice tres iteraciones.

R/  Primero evaluamos la función en los tres valores iníciales.

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Utilizando la interpolación cuadrática:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

A raíz de este valor tomamos nuevos valores iníciales para la segunda iteración y el valor de la función en dichos puntos:

...