Derivadas Trigonometricas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x. Ello nos permitirá, como una nueva aplicación del Teorema del Valor Medio, probar las identidades trigonométricas más usuales y, en general, mejorar sustancialmente el conocimiento de las funciones trigonométricas y sus inversas.

Las funciones trascendentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letra que lo simbolizan que hace que una función adquiera un valor, es decir, que se convierta en un número. Sin él la función es vacía, o sea, no tiene valor.

Por ejemplo, la función sen (seno) e vacía no tiene ningún valor por que le falta el argumento, le falta ese número que la transforme en una cantidad concreta. Si a la función anterior se le agrega el número 26 para leer sen26 entonces, esto ya adquiere un valor es cual es sen26: 0.44. A éste número 26 se le llama argumento.

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.

• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Derivada de la Función Seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

Por tanto si f(x) = sin(x)

A partir de la identidad Trigonométricas , se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente por la regla de l'Hôpital. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la Función Coseno

Si f(x) = cos(x)

A partir

...