ENSAYO DE SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS

Introducción

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

o La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

Donde x representa la variable, y donde a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

o Fórmula general para la obtención de raíces:

Raíz o solución de una ecuación cuadrática.

Un número r es una raíz o una solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, si y solo si, al sustituir x por r , se cumple la igualdad. Es decir: a ⋅ r2 + b ⋅ r + c = 0

Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuación: 6x2 − mx +15 = 0 , sabiendo que una de sus raíces es: 3.

Solución. Sustituyendo x=3 en la ecuación, se obtiene: 6 ⋅ 32 − m⋅ 3 +15 = 0, de donde

m = 23.

Resolver una ecuación cuadrática significa, hallar todas las raíces (o soluciones) de la ecuación cuadrática.

Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Los más usuales son:

a) Factorización

b) Completando el cuadrado de un binomio

c) Fórmula cuadrática.

En breve, daré a conocer dos de esos métodos: solución por factorización y completando el cuadrado de un binomio. Los cuales explicaremos con ejemplos para su mejor comprensión.

Desarrollo

Solución por factorización: Este método se usa preferentemente cuando la expresión ax2 + bx + c se puede factorizar o descomponer en un producto de dos binomios lineales de manera rápida.

Ejemplo práctico: Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.

2. Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.

3. Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.

4. Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.

5. Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier número multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.

6. Después se despeja X en los dos factores.

7. Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.

8. Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:

x2 - 28x + 187 = 0

(X ) (X ) = 0

(X - ) (X ) = 0

(X - ) (X - ) = 0

187 11

17 17

1

(X - 17) (X - 11) = 0

X - 17 = 0 X - 11 = 0

X1 = 17 y X2= 11

Solución por completación de cuadrado: Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

En la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

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