Ecuaciones Lineales

INTRODUCCIÓN

Existe en la actualidad un gran interes por el estudio de los métodos numericos como herramientas para resolver problemas matemáticos. Entre estos métodos se encuentran los que se aplican para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Una Ecuación Lineal es aquella en donde nínguna de sus variables está elevada a un término mayor a uno ( 1),es decir, que no se encuentran elevados al cuadrado, al cubo, etc.

El objetivo principal de estudiar éste tema es conocer éstas técnicas que se pueden aplicar para resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales, ya que tienen gran importancia en la Ingeniería. En ésta investigación se trata lo relacionado a cada uno de los métodos, en cuanto a su aplicación en sistemas de ecuaciones lineales mediante el planteamiento de problemas y la solución de los mismos.

En los métodos tratados tenemos:

Los métodos directos, entre los cuales se encuentran:

* Método de Eliminación de Gauss-Jordan

* Factorización LU

* Sustitución

* Igualación

* Reducción

* Gauss jordan

* Grafico

* Regla de Cramer

* Método de Matriz inversa

Además se trata lo referente a los métodos iterativos

- El Método de Gauss-Seidel

- El Método de Sobrerrelajamiento (SOR)

1.- Sistema de Ecuaciones Lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas, cuya solución es un conjunto de valores para las incógnitas con el que se satisfacen todas las ecuaciones. En nuestro caso se asumirá que siempre hay la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, para los cuales hay una única solución, cuando ésta existe.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

2.- Tipos especiales de Matrices

Existen diferentes tipos de matrices que dependiendo de su apariencia o comportamiento se les han dado distintos nombres; siendo la primera de ellas la que se produce naturalmente cuando la eliminación de Gauss es realizada sobre un sistema de ecuaciones lineales.

2.1.-Matriz Triangular

Es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices.

Una matriz es triangular superior si cumple que Es decir, cada elemento de A ubicado por debajo de la diagonal principal tiene valor nulo.

Ejemplos

Esta matriz es triangular superior. Esta matriz es triangular inferior.

2.1.1.- Matriz Triangular Superior:

Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

Ejemplo

2.1.1.1.- Matriz Triangular Unitaria Superior (U)

Satisface Uij=0 si i>j; Uij=1 si i=j, tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1

U=(■(1&U_12&U_13@0&1&U_13@0&0&1))

Ejemplo

2.1.2.- Matriz Triangular Inferior:

Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.

Se dice que es una matriz triangular inferior, si es de la forma:

Ejemplo

2.1.2.1.- Matriz Triangular Unitaria Inferior (L)

Satisface Lij=0 si i<j; Lij=1 si i=j, tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1

L=(■(1&0&0@L_21&1&0@L_31&L_32&1))

Ejemplo

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres que reciben estas matrices en inglés.

2.1.3.- Propiedades de las matrices triangulares

Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios (matriz diagonal).

El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior).

La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.

Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.

2.2.- Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no.

Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

A=

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Ejemplo

2.2.1.- Operaciones con matrices diagonales

Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a1,...,an) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1,...,an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda.

2.2.1.1.- Suma

Se tiene: diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

2.2.1.2.- Producto de matrices

diag(a1,...,an) • diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

Teorema

La matriz diagonal diag(a1,...,an) es invertible si y sólo

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