Educacion

Par ordenado:

Es un conjunto de dos elementos denotado y definido por:

(a; b) = {{a};{b}}

Donde :

“a”= es primera componente

“b”= es segunda componente

Igualdad de pares ordenados:

Dos pares ordenados son iguales si y solo sise cumple que:

(a; b)= (c; d) ↔ a = c ^ b = d

Ejemplo: hallar la suma de “a+b”

(a + 14;b+ 8); (b + 6; 2a + 10)

Solución:

a + 14 = b + 6

a – b = 6 – 14

a – b = - 8................... (I)

b + 8 = 2a + 10

b – 2a = 10 – 8

b – 2a = 2..................... (II)

Sumamos la ecuación (I) y (II)

a – b = - 8 (+)

b – 2a = 2

- a =- 6

(-1) – a= -6 (-1)

a = 6

Remplazando “a” en la ecuación (I)

a – b = - 8

6 – b = - 8

b = 14

la suma de “a + b”׃ 6 + 14 = 20

Producto cartesiano de conjuntos:

Dado los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, en ese orden, al conjunto formando por todos los pares ordenados (a; b) tales que a € A y b € B.

Se denota por A x B y simbólicamente se representa:

A x B = {(a; b) € A x B/a € A y b € B

Ejemplo 1.-

Dado los conjuntos: A {1; 2; 4} y B = {3; 5}, hallar A x B empleando el diagrama del árbol:

Solución:

A B A x B

3 (1; 3)

1

5 (1, 5)

3 (2; 3)

2

5 (2; 5)

3 (4; 3)

4

5 (4; 5)

Luego: A x B = {(1; 3); (1;5); (2;3); (2;5); (4;3); (4; 5)}

Propiedades del producto cartesiano

A x B = B x A no es conmutativa

A x B = B x A Λ A = B

n (A x B) = n (A). n (B) cardinal de AXB

A x Ø = Ø x A = Ø

A x B = Ø Λ A = Ø ó B = Ø

A x (B U C) = (A x B) U (A x C)

A x (B – C) = A x B – A x C

Representación geométrica del producto cartesiano:

Cada uno de los conjuntos A y B del conjunto del producto AxB, puede representarse linealmente sobre dos rectas perpendiculares, lo que nos permite establecer un sistema de coordenada sen el plano. Los elementos del conjunto A se representan sobre el eje horizontal (eje de las abscisas) y los de b sobre el eje vertical (eje de ordenadas). En este caso se dice que el punto P del plano. En este caso se dice que el punto P tiene como coordenadas X e Y, o que X € A es la abscisa de P y que Y € B es la ordenada de P.

Ejemplo: sean los conjuntos A = {x € z/10<x<5} y B = {x € N/0<x<3}, representar gráficamente el producto A x B

Solución: si A = {1;2;3;4} y B = {1;2}, entonces identificamos los elemento sde A en el eje x, los de B en el eje y del sistema de coordenadas de un plano, el producto de AxB representamos por puntos en dicho plano.

y

2

B

1

x

0 1 2 3 4

A

Como se puede observar las líneas horizontales y verticales trazadas por los elementos trazadas por los elementos de A y B determinan 8 puntos, esto es evidente ya que: n(A)= 4 y n(B)= 4, entonces n(AxB)= 4x2 = 8

Por lo tanto: AxB = {(1; 1); (1; 2); (2;1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}

Relación binaria:

Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano AxB, esto es, una relación binaria R consiste en lo siguiente:

a) Un conjunto A (conjunto de partida)

b) Un conjunto B (conjunto de llegada)

c) Un enunciado abierto p (x; y) tal que p (a; b) es verdadero o falso para todo par ordenado.

Formalmente:

R = {(x; y) € A x B/ p (x; y)}

Si (a; b) € A x B, tal que (a; b) € R, la preposición p(a; b) es verdadera y se escribe aRb, se lee: “a” esta relacionado con “b”. si para p (a; b) es falso, se escribe aRb y se lee: “a” no esta relacionaron “b”.

Ejemplo:

Sean los conjuntos A ={1; 2; 3} y B = {4; 5}hallar la relación:

.1

.4

.2

.5

.3

R1 = {(1; 4); (1; 5); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5)}

Dominio de una relación:

Se llama una relación R de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota Dom (R) y se simboliza:

R: A B, entonces: Dom (R) = {x € A/y € B,(x; y)€ R}

Rango de una relación:

Se llama rango de una relación Rde A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota Ran (R) y se simboliza:

R: A B, entonces: Ran (R) = {y € B/x € A, (x; y) € R}

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