Ejercicio De Conjuntos

Ejercicios de conjuntos

1.1.1. Paradojas, la dificultad de definir un conjunto

Si un conjunto es una agrupación de elementos ¿cuál es el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos?

Paradoja de Bertrand Russell

-Analiza esta paradoja y explica por qué representa un problema para la definición intuitiva de conjuntos.

“La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo”.(Wikipedia)

“Bueno, y ahora surge un problema bastante más importante de lo que uno puede creer: teniendo en cuenta que todas las Matemáticas se basan en la teoría de conjuntos y podemos encontrar en ella una paradoja de estas dimensiones ¿Cómo se sostiene todo? Pues sencillo. Bueno, sencillo no, pero se sostiene. Los lógicos llegaron a la conclusión que para la teoría de conjuntos en la que están basadas las Matemáticas los conjuntos singulares (conjuntos que se contienen a sí mismos1…) simplemente no pueden existir. Más tarde llegaron los axiomas de Zermelo - Fraenkel y consiguieron asentar definitivamente el tema (bueno, igual no tan definitivamente, ya que el axioma de elección ha dado y sigue dando mucho que hablar, pero bueno, ese es otro tema). Vamos, que por ahora podemos estar tranquilos, las cosas siguen funcionando.” (gaussianos.com/la-paradoja-de-russell/)

1. Cita mía.

1.1.2. ¿Qué es un conjunto?

Georg Cantor, matemático alemán (1845-1918) considerado el padre de la teoría moderna de conjuntos. Uno de los propósitos de Cantor era fundamentar toda la matemática de su época. Para ello escogió el concepto de conjunto y se ocupó de la formalización de la Teoría de Conjuntos.

-¿Para qué crees que Cantor deseaba fundamentar la matemática? ¿Crees qué sea importante fundamentar la matemática?

Cito un párrafo de la obra de Fernando Bombal Gordon “Paradojas y Rigor” donde dice: “A pesar de las reticencias iniciales, poco a poco se fue consolidando la idea de que la Teoría de Conjuntos podía ser la base sobre la cual construir toda la Matemática. Así pues, una sólida fundamentación de la Teoría de Conjuntos, proporcionaría la ansiada base firme sobre la que asentar toda la Matemática” Sin embargo –continúa Bombal- “Pero, como sabemos, la noción de conjunto no es tan simple como parece. En efecto, ya en 1895 Cantor había encontrado una dificultad importante en el desarrollo de su teoría…”, refiriéndose al cardinal de un conjunto.

Los matemáticos como Cantor y Hilbert buscaban con sus trabajos “dar una base firme y segura a las matemáticas […] que se convierten así en una especie de tribunal de suprema instancia para la evaluación y resolución de cuestiones de principio.” (Bombal)

1.1.4. Subconjuntos

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