Estudiar los conceptos básicos del movimiento armónico simple a través de un oscilador armónico.

Práctica 9: Movimiento Armónico Simple

OBJETIVOS

• Estudiar los conceptos básicos del movimiento armónico simple a través de un oscilador armónico.
• Medir los parámetros de oscilación de un oscilador armónico y a partir de ellos escribir las ecuaciones de movimiento del mismo.
• Verificar experimentalmente el teorema del trabajo y la energía en el movimiento armónico simple.

MATERIALES

• Soporte con dos nueces

• Resorte
• Portapesas de 50 g y pesa adicional de 50 g
• Regla con soporte y guías deslizantes
• Cronómetro
• Pié de rey
• Temporizador con una sola fotocelda

1. Teoría

Un cuerpo efectúa un movimiento periódico si este oscila de un lado a otro de una posición de referencia bien determinada. En la naturaleza existen muchos ejemplos de movimientos periódicos, entre ellos están el movimiento que adquiere un trampolín cuando el clavadista toma impulso para lanzarse a una piscina, el movimiento de la lenteja de un reloj de péndulo, el movimiento de un columpio en un parque de recreación, el movimiento de una bola de baloncesto al golpear el suelo, entre otros. De todos los movimientos periódicos que existen en la naturaleza, se llama movimiento armónico simple (MAS) a aquel en donde la fuerza neta que actúa sobre la partícula es de tipo restaurador y directamente proporcional al desplazamiento de la partícula desde su posición de equilibrio, esto es:

[pic 2]                        (1)

Siendo x el desplazamiento de la partícula desde su posición de equilibrio, al cual llamaremos elongación.

Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, podemos escribir la ecuación (1) en la forma:

[pic 3]                (2)

Siendo k una constante, denominada constante de restitución del sistema, y m es la masa de la partícula. El movimiento de una partícula en la que la aceleración a y el desplazamiento x están relacionados por una ecuación como la (2) es armónico simple. Sin entrar en los detalles matemáticos de esta ecuación, es razonable suponer que la elongación de la partícula en función del tiempo sigue una comportamiento periódico, el cual es bien descrito por funciones trigonométricas del tipo seno o coseno, esto es:

[pic 4]                                (3)

Siendo A (m, cm, mm) el máximo desplazamiento alcanzado por la partícula desde su posición de equilibrio, al que llamamos amplitud del movimiento. La constante ω (rad.s-1) se denomina frecuencia angular del MAS y satisface la condición:

[pic 5]                                (4)

La constante de restitución k es una medida de la dificultad que existe para separar a la partícula de su posición de equilibrio y la masa m es una medida de la oposición que ofrece la partícula a ser acelerada. La ecuación (4) nos dice, de una manera muy razonable, que mientras mayor sea la constante de restitución mayor será la frecuencia angular de las oscilaciones, pero a mayor inercia menor será la frecuencia para un mismo valor de k. La frecuencia angular del MAS es un compromiso entre las constantes k y m.

La constante ϕ (rad.) que aparece en la ecuación (3), se denomina fase inicial del movimiento, su valor depende de las condiciones iniciales del movimiento, esto es, de cuál es la posición y la velocidad de la partícula cuando t=0.

El período T (s) es el tiempo que tarda la partícula en efectuar una oscilación completa a partir de un punto de referencia. La frecuencia f (s-1= Hz) es el número de oscilaciones completas efectuadas por la partícula en la unidad de tiempo. Tanto T como f están relacionados con la frecuencia angular ω a través de las ecuaciones:

[pic 6]                                (5)

La tasa de cambio de la elongación x con respecto al tiempo nos da la velocidad instantánea de la partícula en el MAS. De la misma forma, la tasa de cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo nos da la aceleración instantánea de la partícula. Ambas magnitudes varían periódicamente con el tiempo según las ecuaciones:

[pic 7]                        (6)

1. Experimento 1: medición de la constante de fuerza de un resorte

Con los elementos que tiene sobre su mesa monte el sistema masa-resorte que se muestra en la figura 1. [pic 8]

Figura 1. Sistema masa-resorte para el estudio de oscilaciones.

Utilice una masa de 100 g (masa del portapesas más una pesa de 50 g), pero verifique su valor con la balanza y escríbalo a continuación:

m (kg) = 0.1009 Kg

Tome como posición de equilibrio y=0 aquel punto donde la masa en suspensión m se encuentra en reposo. Hale la masa m cinco centímetros hacia abajo y luego suéltela cuidadosamente sin producir movimientos laterales.

¿Teniendo en cuenta lo que acaba de hacer, cuál es la amplitud del movimiento?

A (m) = 0.05

Con el cronómetro, mida el tiempo Δt que tarda la masa en regresar cinco veces al punto donde fue soltada. Este tiempo equivale a cinco períodos. Obtenga el período del movimiento a partir de la ecuación:

[pic 9]                                        

Repita tres veces esta medida y efectúe el promedio de los tres períodos:

T1 (s)= 0.6174 s , T2 (s)= 0.688 s  , T3 (s)= 0.672 s , Tprom (S)= 0.678 s

Calcule el valor de la constante de fuerza k del resorte a partir de la ecuación:

[pic 10]=        [pic 11]= 8.66 kg/s2                        (7)

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