Experimento 2

RESUMEN:

En este laboratorio se toman las 4 tablas entregadas en la guía y se grafican. Donde se puede observar que tipo de grafico era cada uno. Posteriormente se escoge uno de estos gráficos que era de tipo exponencial para poder desarrollar los tres métodos estudiados en clases (gráfico, de los promedios y de los mínimos cuadrados) para luego graficarlo en un plano cartesiano como una función lineal.

El grafico seleccionado corresponde al llamado Tiempo/ Voltaje, de el se consigue su ecuación utilizando los tres métodos, donde se adquieren los siguientes resultados:

Método Gráfico:

y = -0,459x + (1,846)

Método de los promedios:

y = 0,332x + (´1,348)

Método de los mínimos cuadrados:

y = -0,451x + (1,503)

Para este caso el coeficiente de correlación lineal fue de un 99,99%

INTRODUCCIÓN:

La física en su intento de describir ordenadamente los hechos que acontecen en la naturaleza, utiliza la matemática como lenguaje. Se sabe que en todo experimento siempre es importante poder graficar los datos obtenidos para poder analizar y visualizar de mejor manera los fenómenos en estudio. Por ello es importante poder obtener una ecuación que pueda determinar la forma del gráfico. Todo esto con el fin de comprender el fenómeno y poder utilizar las ecuaciones como un punto de referencia para lograr determinar formalmente un modelo general que nos permita comprender, controlar o anticipar los fenómenos en estudio de un margen de error aceptable.

Para lograr determinar las ecuaciones existen ciertos métodos, de los cuales nosotros utilizaremos tres:

Método gráfico: Este método consiste en graficar los puntos dados en el plano cartesiano, donde podremos obtener la pendiente y el coeficiente de posición. Con las siguientes formulas:

Y = mX ± b (ec. 1), Ecuación general de la recta.

Siendo “m” la pendiente y “b” el coeficiente de posición.

m = (y_2- y_1)/(X_2- X_1 ) (ec.2)

Luego de obtener la pendiente de la recta se procede a reemplazar los valores de x e y por cualquier punto dado en la tabla en la ecuación de la recta para obtener el valor b.

Método de los promedios: básicamente consiste en dividir la tabla de datos en dos y aplicar las siguientes fórmulas.

- Para la primera tabla, la fórmula es:

∑_(i=1)^(n⁄(2 ))▒y_i = m ∑_(i=1)^(n⁄(2 ))▒x_i + b (ec.3)

Mientras que para la segunda tabla la formula es:

∑_(i=1)^(n⁄(2 ))▒y_i = m ∑_(i=1)^(n⁄(2 ))▒x_i + b (ec.4)

una vez listas las dos ecuaciones, se procede a obtener el valor de “m” y “b” realizando un sistema de ecuaciones.

Método de mínimos cuadrados: Este es el método utilizado con mayor frecuencia, por ser el mas acertado y formal. Consiste en calcular el coeficiente de posición y la pendiente por distintas ecuaciones, y además calcular el coeficiente de correlación de los puntos (r). Las correspondientes ecuaciones son:

m = (∑▒〖x_i ∑▒〖y_i-〗 n∑▒〖xy〗_i 〗)/((∑▒x_i )^2- n∑▒〖x_i〗^2 ) (ec.5)

b = (∑▒〖〖xy〗_i ∑▒〖x_i- ∑▒〖y_i ∑▒〖x_i〗^2 〗〗〗)/((∑▒x_i )^2- n∑▒〖x_i〗^2 ) (ec.6)

r = (∑▒〖〖xy〗_i- 1/n ∑▒〖x_i ∑▒y_i 〗〗)/(√(∑▒〖x_i〗^2 - 1/n (∑▒x_i )^2 ) √(∑▒〖y_i〗^2 - 1/n (∑▒y_i )^2 )) (ec.7)

Finalmente obteniendo estos resultados se forma la ecuación.

OBJETIVOS:

Representar gráficamente una tabla de datos.

Obtener la relación funcional entre las variables.

Realizar el análisis de cada grafico y de sus constantes.

Reconocer gráficos de tipo lineal y de tipo exponencial.

Aprender a desarrollar los tres métodos aprendidos en el laboratorio.

METODO EXPERIMENTAL:

Materiales:

- Calculadora

- Programa, Microsoft Excel

- Papel

- Lápiz y goma

Montaje experimental:

El grupo se reunió, para trabajar las tablas entregadas por el profesor, en la biblioteca central de la Universidad. Se dibujaron los gráficos de dichas tablas, donde se pudo llegar al acuerdo de cual iba a ser la tabla que se rectificaría. Además se hicieron los cálculos para cada una de las tablas para luego realizar el informe vía web desde las casas.

Procedimiento a seguir:

En primer lugar, se grafica cada una de las tablas entregadas en la guía, luego se identifica a que tipo de gráficos pertenecen, lineal o exponencial. Posteriormente se elige el gráfico correspondiente a la tabla nº4 Tiempo/Voltaje, ya que se observa que era de tipo exponencial, lo que indica que su pendiente no será constante, es por esto que se debe rectificar aplicándole ln en la variable dependiente, que en este caso corresponde al voltaje. Luego de la rectificación se procede con los tres métodos aprendidos en el laboratorio. Con el método grafico se calcula primero la pendiente con dos puntos tomados de la tabla, luego de conocer el valor de la pendiente se reemplazan las variables x e y, para obtener el valor del coeficiente de posición. Seguidamente se calcula la ecuación con el segundo método, de los promedios, en primer lugar se divide la tabla en dos, la primera desde el primer hasta el sexto término y la segunda desde el séptimo hasta el undécimo término; al formar dos grupos se obtienen dos sistemas de ecuaciones los cuales fueron trabajados separados, el primer grupo fue trabajado con la ecuación tres y el segundo grupo fue trabajado con la ecuación cuatro, para luego con la ayuda de un sistema de inecuaciones lograr obtener la correspondiente ecuación de la recta. Finalmente se calcula la ecuación con el método de mínimos cuadrados, en primer lugar se debe calcular x_i,y_i,〖xy〗_i,〖x^2〗_i & 〖y^2〗_i y posteriormente sus sumatorias, para luego calcular la pendiente con la ecuación quinta, el coeficiente de posición, con la ecuación sexta, y por ultimo el coeficiente de correlación, con la ecuación séptima. Concluyentemente con los datos obtenidos se logra encontrar la ecuación de la recta correspondiente, la cual poseía un coeficiente de correlación del 99,99%.

Desarrollo experimental:

En primera instancia, se analizan los datos de las tablas que se encontraban en la guía, ver página número

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