Funciones Inyectivas

Funciones Inyectivas

Definición. Una función f : Df → Cf es inyectiva o uno a uno y se denota como 1-1, si a diferentes elementos del dominio le

corresponden diferentes elementos del codominio. En esta función, para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su dominio se cumple que:

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2 )

Ejemplo de función inyectiva

a) Veamos si la función f(x) = 4x - 1 es inyectiva:

Si las imágenes son iguales:

f(x1) = f(x2) ⇒ 4x1 - 1 = 4x2 - 1 ⇒ 4x1 = 4x2 ⇒ x1 = x2

, los originales son iguales. Por tanto, la función f es inyectiva.

La recta horizontal

una función es inyectiva si ninguna recta horizontal corta a su gráfica en más de un punto.

b) Veamos si g(x) = x2 es inyectiva

Si trazamos rectas horizontales sobre la gráfica,

éstas la corta en más de un punto.

Por ejemplo: si trazamos la recta y = 4 :

ésta corta la función en los puntos: x = 2 , x = -2

g(2) = 4 , g(-2) = 4

Por tanto, dos elementos distintos, 2 y - 2, tienen la misma imagen.

La función g no es inyectiva.

Funciones Sobreyectivas

Definición. Una función es Sobreyectiva si todo elemento de su Codominio es imagen de por lo menos un elemento de su Dominio, lo que se expresa como:

Sea: f: Df → Cf

Si ∀ b ∈ Cf existe a ∈ Df tal que , f(a)= b,

entonces f es sobre

Ejemplo de función sobreyectiva

b) Veamos si la función g: R → R, donde g(x) = x3 + 3, es sobreyectiva:

En este caso:

El conjunto inicial de g es R .

El conjunto final de g es: R

La imagen de g es también R , es decir: Im(g) = R

La imagen de g y el conjunto final de g coinciden es R:

Véase la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R

Luego la función g sí es sobreyectiva.

Funciones Biyectivas

Definición. Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca.

Una función puede ser:

I) 1-1 y sobre (biyectiva)

II) 1-1, pero no sobre

III) No 1-1, pero sí sobre

IV) Ni 1-1 ni sobre

Ejemplo de función biyectiva

a) Veamos si la función f: R → R , donde f(x) = 3x - 2, es biyectiva

Veamos primero si es inyectiva,

Si las imágenes son iguales:

f(x1) = f(x2) ⇒ 3x1 - 2 = 3x2 - 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 =

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