HISTORIA Y FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICAS CLASE N ° 4. ACTIVIDADES

HISTORIA Y FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICAS

CLASE N ° 4. ACTIVIDADES

Leer:

 Capítulo IV “La Matemática Helenística” Título 2 “Euclides y sus elementos" y título 3 “Arquímedes” del libro “Historia de la matemática” vol. 1  Julio Rey Pastor y José Babini

1. Utilizar alguna estrategia como línea de tiempo, resumen, informe, mapa conceptual para dejar evidencia de los capítulos.

1. Para título 2 responda:

1. ¿Cuál de los trece libros de los Elementos considera el más importante? Justifique su respuesta.

Considero que de los 13 libros el primero es el más importante.

Porque fue en el primero en donde apareció la lógica aristotélica, en donde Euclides instaura un método que hoy llamamos axiomático y que resultó el método científico por excelencia. Este consiste en denunciar previamente propiedades que han de admitirse sin demostrarlas para poder deducir de ellas sin otro recurso más que la lógica, todo el conjunto de proposiciones del sistema. Estos enunciados que se admiten sin demostración se denominan axiomas y que Euclides llamó “postulados” y “nociones comunes”.

En este libro aparecen definiciones, los 5 postulados y las 8 nociones comunes que después le permitieron seguir desarrollando los otros libros. Se deja atrás a la matemática como solamente una herramienta para resolver problemas prácticos y se satisface la pretensión platónica de verla como un objeto de conocimiento y de enseñanza.

Los primeros tres postulados aluden a construcciones, el cuarto a una propiedad y el quinto tiene el aspecto de un teorema. Afirman la existencia y unicidad de los elementos: punto, recta y circunferencia. Estos se construyen con instrumentos geométricos: la regla y el compás, aunque Euclides nunca los nombra toda su obra.

Las nociones comunes postulan la igualdad, la desigualdad, la suma, resta, duplicación, división de las cosas.

El primer libro es uno de los libros 3 pitagóricos. Corresponde a la geometría plana.

[pic 2]

1. ¿Cuál de los trece libros de los Elementos considera el menos importante? Justifique su respuesta.

Cada libro fue importante, de lo contrario no hubiera sido tenido en cuenta por el mismo Euclides e incluso, les asignó un orden lógico. Pero a mí juicio, el libro que considero el menos importante es el VIII. Consta de 27 proposiciones y se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y noción que no queda definida.

Es una continuación de temas que ya se venían desarrollando en libros anteriores.

Cada libro tiene algo que lo hace “especial”:

• Del I ya he hablado.
• El II aparece el “álgebra geométrica” griega. Se establecen las equivalencias geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización del Teorema de Pitágoras conocida como la ley del coseno.
• En el III se presentan teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de ángulos, con algunas omisiones;
• En el IV hay construcciones pitagóricas de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. También inscripciones y circunscripciones de figuras rectilíneas y círculos;
• En el V se expone magistralmente la teoría de la proporción aplicable a magnitudes conmensurables e inconmensurables, resolviéndose así el problema planteado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales;
• En el VI presenta la teoría de Eduoxo de la proposición a la geometría plana. También semejanzas de triángulos, construcciones de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuádricas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados;
• El VII es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas.
• El IX tiene teoría sobre aritmética. Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de un número en sus factores primos y el teorema que establece la cantidad infinita de los números primos.
• El X trata los números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado.
• En el XI se introduce a la teoría de los sólidos (aunque sin postulados);
• En el XII se emplea el método de exhausción comentada por Arquímedes;
• El XIII incluye los 5 poliedros en honor a Platón: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro.

[pic 3]

1. Para el título 3 responda:

1. Arquímedes suele ser considerado como el matemático más grande de la antigüedad. Explique detalladamente la justificación de tal opinión, comparando su obra con la de al menos dos de sus potenciales “rivales" anteriores a él.

Arquímedes de Siracusa escribió monografías sobre aritmética, geometría, astronomía e hidrostática que tuvieron gran influencia en los hombres del Renacimiento y de la Edad Media. Utilizó rigurosamente el método euclídeo de fijar previamente la hipótesis que postulaba, a la que seguían los teoremas elaborados y terminados. [pic 4]

Arquímedes demostró teoremas sobre áreas y volúmenes de los cuerpos redondos, omitidos en los Elementos. Obtuvo superficies y volúmenes que hoy se obtienen mediante el análisis infinitesimal (cálculo integral).

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