Identidades Trigonometricas

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.

• 2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Relaciones básicas

Relación pitagórica

Identidad de la razón

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

sen

cos

tan

cot

sec

csc

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

Ejemplo 2:

Utilizando la identidad

Entonces:

Pero

sustituimos en :

Realizamos las operaciones necesarias y queda:

Entonces los cosenos se hacen 1 y queda

Y queda demostrado.

El resto de las funciones se realiza de manera análoga.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Identidades del ángulo múltiple

Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando .

Fórmula del ángulo doble

Fórmula del ángulo triple

Fórmula del ángulo medio

Producto infinito de Euler

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno

Coseno

Otros

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

Deducción de la identidad

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):

2):

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3):

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio

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